用好 DP 算法，轻松应对博弈论难题

后端

2023-11-22 17:47:21

导语

博弈论作为一门研究策略性互动决策的学科，在现实生活中有着广泛的应用，例如经济、政治、军事等领域。博弈论 DP 则是将博弈论与动态规划相结合，解决博弈问题的一种有效方法。

正片

今天，我们就来一起学习如何运用博弈论 DP 算法，破解 LeetCode 上的经典博弈论难题 464：我能赢吗。

题目

这是 LeetCode 上的 464. 我能赢吗，难度为中等。

标签

「博弈论 DP」、「记忆化搜索」、「状态压缩」

题目

在 "100 game" 这个游戏中，两名玩家轮流选择从 $1$ 到 $10 的任意整数，累计数值先达到或超过 $100 的一方获胜。

若你是先手，你是否能在最优策略下，保证稳赢？

示例

输入：10
输出：false
解释：如果你是先手，则你最优策略是选择 $1$。
此时，你累计数值为 $1$，你的对手累计数值为 $0$。
然后，你的对手最优策略是选择 $9$。
此时，你的累计数值为 $1$，你的对手累计数值为 $9$。
接下来，你无论选择多少，都会使你的累计数值超过 $100$，从而导致你输掉游戏。
所以，你无法在最优策略下，保证稳赢。

思路分析

这个问题本质上是一个博弈论问题。我们可以使用博弈论 DP 算法来解决它。

首先，我们定义状态 dp[i]，表示当累计数值为 i 时，先手玩家是否必胜。

然后，我们就可以使用动态规划来计算 dp[i] 的值。

对于每个状态 i，我们都可以枚举所有可能的下一步，并计算出在每一步之后，先手玩家是否必胜。

如果存在至少一步能让先手玩家必胜，那么 dp[i] 为真；否则，dp[i] 为假。

代码实现

def canIWin(maxChoosableInteger, desiredTotal):
    # 如果目标总和大于最大可选整数的总和，则先手玩家必败
    if maxChoosableInteger * (maxChoosableInteger + 1) / 2 < desiredTotal:
        return False

    # 定义状态数组，dp[i] 表示当累计数值为 i 时，先手玩家是否必胜
    dp = [False] * (desiredTotal + 1)

    # 初始化状态数组，当累计数值为 0 时，先手玩家必败
    dp[0] = False

    # 遍历所有可能的累计数值
    for i in range(1, desiredTotal + 1):
        # 枚举所有可能的下一步
        for j in range(1, min(maxChoosableInteger, i) + 1):
            # 如果存在至少一步能让先手玩家必胜，则 dp[i] 为真
            if not dp[i - j]:
                dp[i] = True
                break

    # 返回先手玩家是否必胜
    return dp[desiredTotal]