打造目标和：从leetcode 494题中获取借鉴

494题——目标和

我们来思考一下，对于原数组nums来说，为了得到目标和target，有哪些方式可以达成呢？有且仅有两种方式：

• 选中当前元素，为其加上正号，然后将目标和减去该元素的值。
• 选中当前元素，为其加上负号，然后将目标和减去该元素的值。

注意到，在前面的讨论中，选择或者不选择当前元素都是唯一的，因此我们可以选择以动态规划的方式来解决这个问题。我们先用一个二维数组dp来记录当前的子数组能得到的和的种类是否包含target。其状态方程为：

即，当前子数组的和等于目标和的种类是否包含target，只和当前子数组的前一个子数组的和是否包含target有关。其边界条件为：

接下来我们来证明，这个状态方程和边界条件都是成立的。首先是边界条件，显然，空数组的和只能为0，因此0的和只包含0，对于空数组，0的和包含target显然是成立的。我们假设，对于子数组i-1，状态方程和边界条件是成立的，现在我们来考虑当前的子数组i。如果包含target，显然，当前子数组的和包含target。那么，如果前一个子数组的和不包含target，那么当前子数组的和也不包含target。我们来证明，对于当前子数组的和包含target，一定有其前一个子数组的和包含target。由于target已经不为0了，当前子数组的和包含target，只能有两种可能，选中当前元素，为其加上正号，然后将目标和减去该元素的值，或者选中当前元素，为其加上负号，然后将目标和减去该元素的值。对于第一种情况，前一个子数组的和等于现在的和加上元素nums[i]，由于当前子数组的和等于target，所以前一个子数组的和就等于target-nums[i]，所以前一个子数组的和包含target，同理，对于第二种情况，前一个子数组的和也包含target。

因此，动态规划的解法是成立的。

我们来看一看动态规划的代码：

class Solution:
    def findTargetSumWays(self, nums, target):
        n = len(nums)
        dp = [[False]*(2*sum(nums)+1) for _ in range(n+1)]
        dp[0][sum(nums)] = True
        for i in range(1,n+1):
            for j in range(-sum(nums),sum(nums)+1):
                dp[i][j+sum(nums)] |= (dp[i-1][j-nums[i-1]] or dp[i-1][j+nums[i-1]])
        return dp[n][target+sum(nums)]

其时间复杂度为O(nsum)，空间复杂度为O(nsum)。

除了动态规划，还有哪些方式可以解决这个问题呢？其实，除了动态规划，我们还可以用回溯的方式来解决这个问题。
回到前面的讨论，我们说到，想要让当前子数组的和等于target，只和当前子数组的前一个子数组的和有关。如果把这个过程看成是一个树，那么每次可以有两种选择，即选择当前元素，为其加上正号，然后将目标和减去该元素的值，或者选择当前元素，为其加上负号，然后将目标和减去该元素的值。这样就把这个问题转化成了一个树的遍历问题。我们可以在树中进行深度优先搜索，当找到一条路径，使得当前路径上的所有元素的和等于target的时候，我们就找到了一种方法。

我们来看一看回溯的代码：

class Solution:
    def findTargetSumWays(self, nums, target):
        res = 0
        def dfs(i,cur_sum):
            nonlocal res
            if i==len(nums):
                if cur_sum==target:
                    res += 1
                return
            dfs(i+1,cur_sum+nums[i])
            dfs(i+1,cur_sum-nums[i])
        dfs(0,0)
        return res

其时间复杂度为O(2^n)，空间复杂度为O(n)。

以上就是解决leetcode 494题的方法。