深入理解树的同构性：相同树背后的数学之美

后端

2023-09-09 04:08:56

树同构性：深入探索树形结构的内在联系

在数据结构的浩瀚世界中，树形结构以其优雅的层次性和高效的检索性能脱颖而出。当我们深入探索树形结构的奥秘时，一个绕不开的话题便是树的同构性——两棵树是否具有相同的结构和值。

树的同构性：结构与值的完美契合

理解树的同构性首先需要了解树的基本概念。树是一种非线性数据结构，由称为节点的元素组成，每个节点包含一个值并指向其子节点。树的结构由这些节点及其连接方式决定。

同构性的本质在于比较两棵树的结构和值。当两棵树的结构相同，即它们具有相同的节点排列方式时，我们称之为结构同构。当结构同构的基础上，两棵树的节点值也完全一致时，我们称之为完全同构或值同构。

检验树同构性的算法：高效求解的递归之旅

为了检验两棵树是否同构，我们可以采用一种递归算法。算法的核心思想是同时遍历两棵树，逐层比较它们的结构和值。

具体步骤如下：

终止条件： 如果两棵树都为空，则它们是同构的；如果其中一棵树为空，而另一棵树不为空，则它们不是同构的。
递归调用： 如果两棵树都不为空，则分别递归比较它们的左子树和右子树的同构性。
同构性判断： 如果两棵树的左子树和右子树都同构，并且两棵树的根节点值相等，则两棵树是同构的。

代码示例：

def is_isomorphic(p, q):
  if not p and not q:
    return True
  elif not p or not q:
    return False

  if p.val != q.val:
    return False

  return is_isomorphic(p.left, q.left) and is_isomorphic(p.right, q.right)

算法实例：直观理解同构性检验

假设有两棵树 p 和 q，它们的结构如下：

按照算法步骤，逐层比较 p 和 q 的同构性：

两棵树都不为空，进入递归。
比较 p 的左子树和 q 的左子树：
- p 的左子树值为 2，q 的左子树值为 2，结构相同。
- p 的左子树的左子树和 q 的左子树的左子树都为空，结构相同。
- p 的左子树的右子树和 q 的左子树的右子树都为空，结构相同。
- 因此，p 的左子树和 q 的左子树同构。
比较 p 的右子树和 q 的右子树：
- p 的右子树值为 3，q 的右子树值为 3，结构相同。
- p 的右子树的左子树和 q 的右子树的左子树都为空，结构相同。
- p 的右子树的右子树和 q 的右子树的右子树都为空，结构相同。
- 因此，p 的右子树和 q 的右子树同构。
最后，p 的根节点值为 1，q 的根节点值为 1。由于 p 的左子树和右子树都与 q 的左子树和右子树同构，且根节点值相等，因此 p 和 q 是同构的。