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用生成函数巧妙地处理数列问题：以斐波那契数列为例

前端

在上一篇中，我们尝试用生成函数巧妙地处理了无穷长度的序列。这一技巧看上去非常有用。于是我们可以尝试使用生成函数来处理数列问题。我们的第一个案例，就是系列开头提到的青蛙跳台阶问题。

青蛙跳台阶

问题一只青蛙要从台阶底部跳到顶部，每次可以跳1级或2级台阶。一共有n级台阶，问青蛙有多少种跳法？

生成函数法

为了解决这个问题，我们可以使用生成函数。首先，我们定义生成函数：

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n

其中(a_n)是第(n)个斐波那契数。然后，我们可以使用递推公式：

a_n = a_{n-1} + a_{n-2}

来求出生成函数的表达式。具体地，我们可以得到：

f(x) = \frac{1}{1-x-x^2}

求解

现在，我们可以使用生成函数来求解青蛙跳台阶问题。令(n)为台阶数，我们想知道青蛙有多少种跳法。这可以通过计算生成函数(f(x))的第(n)个系数(a_n)来实现。

我们可以使用以下公式来计算生成函数的系数：

a_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_{|z|=1} \frac{f(z)}{z^{n+1}} dz

其中(i)是虚数单位。

在这个具体问题中，我们可以得到：

a_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_{|z|=1} \frac{1}{(1-z-z^2)z^{n+1}} dz

我们可以使用留数定理来计算这个积分。留数定理告诉我们，积分的值等于生成函数在(z=1)处的留数。

a_n = \text{Res}(f(z), z=1)

我们可以使用部分分式分解来计算留数。具体地，我们可以得到：

f(z) = \frac{1}{1-z-z^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-\varphi z} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-\overline{\varphi} z}

其中(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2})是黄金分割数，(\overline{\varphi})是它的共轭复数。

然后，我们可以计算出生成函数在(z=1)处的留数：

\text{Res}(f(z), z=1) = \lim_{z\to 1} (z-1)f(z) = \frac{1}{2}

因此，青蛙跳台阶问题的答案是(a_n = \frac{1}{2})。

总结

生成函数是一种处理数列的强大工具。它可以帮助我们快速找到数列的递推公式，并方便地解决各种数列问题。青蛙跳台阶问题就是这样一个例子。使用生成函数，我们可以很容易地找到问题的答案。