完全平方数：以最少平方数求和

## 完全平方数问题

完全平方数问题是一个经典的数学问题，它要求我们找到和为给定整数 `n` 的最少完全平方数的个数。完全平方数是指可以表示为某个整数的平方，例如 1、4、9、16 等。

## 动态规划算法

我们使用动态规划算法来解决完全平方数问题。动态规划是一种自底向上的算法，它将问题分解成更小的子问题，并通过解决子问题来逐步解决整个问题。

### 算法

我们的动态规划算法基于以下两个关键思想：

- **最优子结构：** 问题的最优解可以从其子问题的最优解中构建。
- **最优子问题重叠：** 子问题的最优解在求解较大的问题时可以重复使用。

具体来说，我们的算法采用以下步骤：

1. **创建动态规划表：** 创建一个 `dp` 表，其中 `dp[i]` 表示和为 `i` 的最少完全平方数的个数。
2. **初始化：** 将 `dp[0]` 设置为 0，因为和为 0 的最少完全平方数的个数为 0。
3. **枚举完全平方数：** 对于每个完全平方数 `i`（从 1 到 `n`）：
   - 如果 `i` 是完全平方数（即 `i` 为某个整数的平方），则将 `dp[i]` 设置为 1。
   - 否则，对于所有 `j`（`j < i`），如果 `dp[j]` 已计算并且 `i - j` 是完全平方数，则更新 `dp[i]` 为 `min(dp[i], dp[j] + 1)`。
4. **返回结果：** 返回 `dp[n]`，它表示和为 `n` 的最少完全平方数的个数。

### 代码实现

以下是算法的 JavaScript 实现：

```javascript
function minPerfectSquares(n) {
  // 创建动态规划表
  const dp = new Array(n + 1).fill(Infinity);

  // 初始化
  dp[0] = 0;

  // 枚举完全平方数
  for (let i = 1; i <= n; i++) {
    // 如果 i 是完全平方数
    if (Math.sqrt(i) % 1 === 0) {
      dp[i] = 1;
      continue;
    }

    // 对于所有 j < i
    for (let j = 1; j < i; j++) {
      // 如果 dp[j] 已计算并且 i - j 是完全平方数
      if (dp[j] !== Infinity && (i - j) === Math.pow(Math.floor(Math.sqrt(i - j)), 2)) {
        dp[i] = Math.min(dp[i], dp[j] + 1);
      }
    }
  }

  // 返回结果
  return dp[n];
}

示例

对于 n = 12，最少完全平方数的个数为 3（4 + 4 + 4）。我们的算法将计算如下：

dp[1] = 1
dp[2] = 2
dp[3] = 3
dp[4] = 1
dp[5] = 2
dp[6] = 3
dp[7] = 4
dp[8] = 2
dp[9] = 3
dp[10] = 2
dp[11] = 3
dp[12] = 3

结论

动态规划是一种强大的算法，可以用来解决各种优化问题。完全平方数问题就是一个很好的例子，它展示了动态规划如何通过将问题分解成更小的子问题并重复使用子问题的最优解来有效地求解复杂问题。