解码方法：LeetCode 91 题的巧妙解析

编码和解码是计算机科学中必不可少的概念，它们使我们能够安全高效地存储和传输数据。在本文中，我们将深入探讨 LeetCode 91 题“解码方法”，这是一道中等难度的动态规划问题。通过阐述清晰的解决方案，我们将逐步揭开解码方法的奥秘，同时提供有用的示例和见解。

动态规划的魅力

动态规划是一种强大的解决问题的技术，适用于具有重叠子问题的复杂问题。LeetCode 91 题正好符合这一要求。为了求解这个问题，我们将使用动态规划方法，该方法将问题分解成较小的子问题，并逐步求解。

问题剖析

给定一个只包含数字的非空字符串，我们的目标是计算解码方法的总数。每个数字代表一个字母，例如，数字“1”代表字母“A”，数字“2”代表字母“B”，依此类推。解码方法是指将数字字符串转换为字母序列的可能方式。

状态转移方程

定义 dp 数组，其中 dp[i] 表示从第一个字符到第 i 个字符的解码数。我们可以推导出以下状态转移方程：

• dp[0] = 1 ：空字符串只有一种解码方式，即空字符串。
• dp[1] = 1 ：只有一个字符的字符串也只有一种解码方式。
• 当 s[i-1] != '0' 时，dp[i] = dp[i-1] ：如果当前字符不为“0”，则可以单独解码，因此解码方法数与前一个字符的解码方法数相同。
• 当 s[i-1] = '0' && s[i] != '0' 时，dp[i] = dp[i-2] ：如果当前字符为“0”但下一字符不为“0”，则只能与前一个字符一起解码，因此解码方法数与前两个字符的解码方法数相同。
• 当 s[i-1] = '1' || s[i-1] = '2' && s[i] <= '6' 时，dp[i] += dp[i-2] ：如果当前字符为“1”或“2”，并且下一字符在“1”到“6”之间，则可以单独解码或与前一个字符一起解码，因此解码方法数等于前一个字符和前两个字符解码方法数之和。

示例解析

为了更好地理解上述状态转移方程，让我们考虑一个示例字符串“226”。

• dp[0] = 1
• dp[1] = 1
• dp[2] = 2（可以解码为“B”或“BB”）
• dp[3] = 3（可以解码为“BC”、“B2”或“BBF”）

代码实现

以下是一个 Python 代码示例，展示了如何使用动态规划求解 LeetCode 91 题：

def numDecodings(s):
    dp = [0] * (len(s) + 1)
    dp[0] = 1
    dp[1] = 1

    for i in range(2, len(s) + 1):
        if s[i-1] != '0':
            dp[i] = dp[i-1]
        if s[i-1] == '0' and s[i] != '0':
            dp[i] = dp[i-2]
        if s[i-1] == '1' or (s[i-1] == '2' and s[i] <= '6'):
            dp[i] += dp[i-2]

    return dp[len(s)]

总结

LeetCode 91 题“解码方法”是一道经典的动态规划问题，通过使用状态转移方程，我们可以有效地求解问题。通过对问题进行仔细分析，分解成较小的子问题，并逐步求解，我们可以掌握动态规划这一强大的问题解决技术。在本文中，我们不仅提供了清晰的解决方案，还提供了有用的示例和见解，希望能够帮助您更好地理解和应用动态规划。