什么是最长上升子序列？

2023-09-22 05:59:33

最长上升子序列问题的定义

给定一个序列 A = {a_1, a_2, \cdots, a_n}，最长上升子序列问题要求找到一个子序列 B = {a_{i_1}, a_{i_2}, \cdots, a_{i_k}}，使得 $1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq n，并且 a_{i_1} < a_{i_2} < \cdots < a_{i_k}。换句话说，最长上升子序列是序列 A$ 中所有递增子序列中最长的那个。

贪心 + 二分算法

贪心算法

贪心算法是一种求解最优解的启发式算法。它通过在每一步选择当前最优的解来逐步构造最优解。对于最长上升子序列问题，贪心算法可以如下

从序列 A 的第一个元素开始，将该元素放入当前的最长上升子序列。
对于序列 A 的后续每个元素 a_i，如果 a_i 比当前最长上升子序列的最后一个元素大，则将 a_i 放入当前的最长上升子序列。否则，忽略 a_i。
重复步骤 2，直到处理完序列 A 的所有元素。

二分算法

二分算法是一种在有序数组中查找元素的算法。它通过反复将数组分成两半，并选择其中一半继续查找，来快速找到目标元素。对于最长上升子序列问题，二分算法可以用来找到当前最长上升子序列的最后一个元素。

将当前最长上升子序列分成两半。
如果序列 A 的下一个元素 a_i 比当前最长上升子序列的最后一个元素大，则将 a_i 放入当前的最长上升子序列，并继续处理序列 A 的后一半。
否则，将 a_i 放入当前最长上升子序列，并继续处理序列 A 的前一半。
重复步骤 1-3，直到找到当前最长上升子序列的最后一个元素。

贪心 + 二分算法的结合

贪心算法和二分算法可以结合起来求解最长上升子序列问题。贪心算法用于构造当前的最长上升子序列，而二分算法用于找到当前最长上升子序列的最后一个元素。这种结合可以有效地提高算法的效率。

代码示例

def longest_increasing_subsequence(A):
  """
  求解最长上升子序列问题。

  参数：
    A: 输入序列。

  返回：
    最长上升子序列。
  """

  # 初始化当前最长上升子序列。
  L = [A[0]]

  # 对于序列 A 的后续每个元素 a_i。
  for i in range(1, len(A)):
    # 如果 a_i 比当前最长上升子序列的最后一个元素大。
    if A[i] > L[-1]:
      # 将 a_i 放入当前最长上升子序列。
      L.append(A[i])
    # 否则。
    else:
      # 使用二分算法找到当前最长上升子序列的最后一个元素。
      index = bisect.bisect_left(L, A[i])
      # 将 a_i 放入当前最长上升子序列。
      L[index] = A[i]

  # 返回最长上升子序列。
  return L


# 测试代码。
A = [1, 3, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
print(longest_increasing_subsequence(A))