算法面试中破解「龟兔赛跑」的技巧

2024-02-12 07:37:25

在算法面试中，「龟兔赛跑」 问题可谓经典中的经典，它的出现频率极高，堪称面试官的必考题。面对如此高频考点，我们不能掉以轻心，必须深入理解其算法原理，熟练掌握解题技巧，才能在面试中游刃有余地应对。

「龟兔赛跑」算法 的本质是一个动态规划问题，它通过将问题分解成一系列子问题，并逐步求解这些子问题，最终得到问题的最优解。算法的原理很简单，就好比龟兔赛跑的经典故事：乌龟和兔子进行一场比赛，兔子速度快，但容易懈怠；乌龟速度慢，但持之以恒。最终，乌龟凭借着坚持不懈的精神，战胜了兔子。

在算法面试中，「龟兔赛跑」问题通常会以以下形式出现：

给定一个长度为 n 的数组 arr，数组元素代表兔子和乌龟在不同时间点的速度。兔子和乌龟分别从数组的两端出发，以各自的速度向前移动。求出兔子和乌龟相遇的最短时间。

乍一看，这个问题似乎有些复杂，但只要我们抓住算法的本质，就能轻松破解它。我们把问题分解成如下子问题：

子问题 1： 兔子在第 i 个时间点遇到乌龟吗？
子问题 2： 如果兔子在第 i 个时间点遇到乌龟，那么相遇的最短时间是多少？

解决这两个子问题，我们就能得到原问题的最优解。

对于子问题 1，我们可以使用递归或动态规划进行求解。 递归的思路是：

如果兔子在第 i 个时间点遇到乌龟，那么兔子在第 i-1 个时间点一定没有遇到乌龟。
如果兔子在第 i 个时间点没有遇到乌龟，那么兔子在第 i+1 个时间点一定也没有遇到乌龟。

根据上述思路，我们可以写出如下递归函数：

public static boolean meetAtI(int[] arr, int i) {
    if (i == 0) {
        return false;
    }
    if (i == 1) {
        return arr[0] <= arr[1];
    }
    return !meetAtI(arr, i - 1) && meetAtI(arr, i + 1);
}

对于子问题 2，我们同样可以使用递归或动态规划进行求解。 递归的思路是：

如果兔子在第 i 个时间点遇到乌龟，那么相遇的最短时间就是兔子从第 0 个时间点到第 i 个时间点所花费的时间。
如果兔子在第 i 个时间点没有遇到乌龟，那么相遇的最短时间就是兔子从第 0 个时间点到第 i-1 个时间点所花费的时间加上兔子从第 i+1 个时间点到相遇点的所花费的时间。

根据上述思路，我们可以写出如下递归函数：

public static int shortestTime(int[] arr, int i) {
    if (i == 0) {
        return 0;
    }
    if (i == 1) {
        return arr[0] <= arr[1] ? arr[0] : Integer.MAX_VALUE;
    }
    int time1 = shortestTime(arr, i - 1);
    if (time1 != Integer.MAX_VALUE) {
        return time1 + arr[i];
    }
    int time2 = shortestTime(arr, i + 1);
    if (time2 != Integer.MAX_VALUE) {
        return time2 + arr[i];
    }
    return Integer.MAX_VALUE;
}