股票交易最佳策略探秘——动态规划的进阶之旅

动态规划与股票交易策略

动态规划是一种用于解决复杂优化问题的算法，其核心思想是将大问题分解成一系列较小的子问题，逐步求解，最终得到整体最优解。在股票交易中，动态规划可以帮助我们确定最佳的买入和卖出时机，实现收益最大化。

题1：123. 买卖股票的最佳时机 III

「123. 买卖股票的最佳时机 III」题中，您最多可以进行两次交易，且两次交易必须在不同天进行。您的任务是计算可以获得的最大收益。

1. 状态定义

• 状态0：未持有股票 ：表示当前未持有任何股票。
• 状态1：持有一股股票 ：表示当前持有股票。
• 状态2：已完成一次交易并持有股票 ：表示已完成一次交易，目前持有股票。
• 状态3：已完成两次交易 ：表示已完成两次交易，无需再进行交易。

2. 状态转移方程

状态之间的转移方程如下：

• 状态0到状态1 ：当股票价格下跌时，可以买入股票。状态转移方程为：dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])
• 状态1到状态2 ：当股票价格上涨时，可以卖出股票。状态转移方程为：dp[i][2] = max(dp[i-1][2], dp[i-1][1] + prices[i])
• 状态2到状态1 ：当股票价格下跌时，可以买入股票。状态转移方程为：dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][2] - prices[i])
• 状态2到状态3 ：当股票价格上涨时，可以卖出股票。状态转移方程为：dp[i][3] = max(dp[i-1][3], dp[i-1][2] + prices[i])

3. 边界条件

• dp[0][0] = 0
• dp[0][1] = -prices[0]
• dp[0][2] = 0
• dp[0][3] = 0

4. 算法流程

1. 初始化状态数组dp
2. 遍历股票价格数组prices
3. 根据状态转移方程更新状态数组dp
4. 返回dp[n][3]，其中n为股票价格数组的长度

题2：188. 买卖股票的最佳时机 IV

「188. 买卖股票的最佳时机 IV」题中，您最多可以进行k次交易，且交易之间无需间隔。您的任务是计算可以获得的最大收益。

1. 状态定义

• 状态0：未持有股票 ：表示当前未持有任何股票。
• 状态1：持有一股股票 ：表示当前持有股票。

2. 状态转移方程

状态之间的转移方程如下：

• 状态0到状态1 ：当股票价格下跌时，可以买入股票。状态转移方程为：dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])
• 状态1到状态0 ：当股票价格上涨时，可以卖出股票。状态转移方程为：dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])

3. 边界条件

• dp[0][0] = 0
• dp[0][1] = -prices[0]

4. 算法流程

1. 初始化状态数组dp
2. 遍历股票价格数组prices
3. 根据状态转移方程更新状态数组dp
4. 返回dp[n][0]，其中n为股票价格数组的长度

题3：764. 最大加号标志

「764. 最大加号标志」题中，给定一个只包含0和1的二进制矩阵，要求在矩阵中找到一个「加号」形状的子矩阵，使得「加号」的边缘由1组成，并且「加号」的内部由0组成。

1. 状态定义

• 状态0 ：当前位置不在「加号」边缘上。
• 状态1 ：当前位置在「加号」的左边缘上。
• 状态2 ：当前位置在「加号」的上边缘上。
• 状态3 ：当前位置在「加号」的右边缘上。
• 状态4 ：当前位置在「加号」的下边缘上。
• 状态5 ：当前位置在「加号」的内部。

2. 状态转移方程

状态之间的转移方程如下：

• 状态0到状态1 ：当当前位置为1且其左邻位置也为1时，则当前位置在「加号」的左边缘上。状态转移方程为：dp[i][j][1] = dp[i][j-1][1] + 1
• 状态0到状态2 ：当当前位置为1且其上邻位置也为1时，则当前位置在「加号」的上边缘上。状态转移方程为：dp[i][j][2] = dp[i-1][j][2] + 1
• 状态1到状态3 ：当当前位置为1且其右邻位置也为1时，则当前位置在「加号」的右边缘上。状态转移方程为：dp[i][j][3] = dp[i][j+1][3] + 1
• 状态2到状态4 ：当当前位置为1且其下邻位置也为1时，则当前位置在「加号」的下边缘上。状态转移方程为：dp[i][j][4] = dp[i+1][j][4] + 1
• 状态1, 2, 3, 4到状态5 ：当当前位置为1且其四个邻位置均为1时，则当前位置在「加号」的内部。状态转移方程为：dp[i][j][5] = min(dp[i-1][j][1], dp[i][j-1][2], dp[i][j+1][3], dp[i+1][j][4]) + 1

3. 边界条件

• dp[0][j][1] = dp[0][j][2] = dp[0][j][3] = dp[0][j][4] = dp[0][j][5] = 0
• dp[i][0][1] = dp[i][0][2] = dp[i][0][3] = dp[i][0][4] = dp[i][0][5] = 0

4. 算法流程

1. 初始化状态数组dp
2. 遍历矩阵matrix
3. 根据状态转移方程更新状态数组dp
4. 找出矩阵中最大的「加号」标志

总结

通过以上三个题目的讲解，相信您已经对动态规划在股票交易中的应用有了更深刻的理解。动态规划是一种非常强大的算法，可以解决许多复杂的问题。如果您想在股票交易中取得成功，掌握动态规划是一种必不可少的技能。