二分查找妙诀：精准定位边界值

2024-02-10 16:06:14

在算法的世界里，二分查找算法以其出色的效率和灵活性而闻名，它通过将数组元素一分为二，不断缩小搜索范围，从而以对数级时间复杂度找到目标元素。然而，当数组中包含重复元素时，标准二分查找算法可能会遭遇瓶颈，因为它只能找到第一个匹配元素，而无法定位到所有匹配元素的边界。

为此，本文将深入探讨二分查找算法的变体——寻找边界值，以解决上述难题。通过巧妙的逻辑调整，我们可以扩展二分查找的应用范围，精准定位重复元素的左右边界。

二分查找法简述

在介绍边界值查找之前，我们先回顾一下标准二分查找算法的工作原理。该算法基于分治的思想，将有序数组不断划分为两半，每次比较中间元素与目标值，并根据比较结果调整搜索范围。这种方法极大地减少了搜索空间，提高了查找效率。

寻找左右边界值

当数组中包含重复元素时，标准二分查找算法仅能找到第一个匹配元素。为了定位到所有匹配元素的边界，我们需要对算法进行一些修改。

左边界查找

为了找到重复元素的左边界，我们需要在标准二分查找的基础上进行如下调整：

当 mid 元素等于目标值时，继续向左半部分搜索，直到找到第一个小于目标值的元素。
更新左边界索引 left 为当前 mid 值，以缩小搜索范围。

右边界查找

同理，为了找到重复元素的右边界，需要对算法进行如下修改：

当 mid 元素等于目标值时，继续向右半部分搜索，直到找到第一个大于目标值的元素。
更新右边界索引 right 为当前 mid 值 - 1，以缩小搜索范围。

算法步骤

完整的二分查找边界值算法步骤如下：

初始化 left 和 right 指针为数组首尾索引。
循环执行以下步骤，直到 left <= right：
- 计算中间索引 mid = (left + right) / 2。
- 如果 arr[mid] == target：
  - 左边界查找：将 right 更新为 mid - 1。
  - 右边界查找：将 left 更新为 mid + 1。
- 如果 arr[mid] < target，将 left 更新为 mid + 1。
- 如果 arr[mid] > target，将 right 更新为 mid - 1。
返回 left 和 right 指针所指示的边界值。

代码示例

以下是用 Java 实现的二分查找边界值算法的代码示例：

import java.util.Arrays;

public class BinarySearchBoundaries {

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {1, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7};
        int target = 4;

        int[] boundaries = findBoundaries(arr, target);
        System.out.println("Left boundary: " + boundaries[0]);
        System.out.println("Right boundary: " + boundaries[1]);
    }

    public static int[] findBoundaries(int[] arr, int target) {
        int left = 0;
        int right = arr.length - 1;

        while (left <= right) {
            int mid = (left + right) / 2;

            if (arr[mid] == target) {
                // 左边界查找
                while (mid > 0 && arr[mid - 1] == target) {
                    mid--;
                }
                left = mid;

                // 右边界查找
                while (mid < arr.length - 1 && arr[mid + 1] == target) {
                    mid++;
                }
                right = mid;
            } else if (arr[mid] < target) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }

        return new int[]{left, right};
    }
}