逻辑回归的原理解析（上）

逻辑回归是一种广为人知的机器学习算法，常用于解决分类问题。尽管其名称中包含“回归”，但它实质上是一种线性分类器，与回归分析中的回归模型有显著差异。本文将深入解析逻辑回归的原理，揭示其背后的数学机制和工作流程。

1. 回归之名，分类之实

顾名思义，“回归”往往与预测连续型变量相关，而“分类”则侧重于将数据样本分配到离散类别。乍看之下，逻辑回归似乎与分类任务相去甚远。然而，其内在原理揭示了它作为分类算法的本质。

逻辑回归的核心思想是将线性回归模型应用于二分类问题。在二分类中，标签仅取两个离散值，例如 0 和 1。逻辑回归使用线性回归模型预测一个连续值 z，该值表示样本属于某一类别的概率。

通过一个称为逻辑函数的非线性变换，逻辑回归将连续值 z 映射到 0 到 1 之间的概率值。逻辑函数是一个 S 形曲线，它将较大的正值转换为接近 1 的概率，较大的负值转换为接近 0 的概率。

2. 似然函数与损失函数

为了训练逻辑回归模型，我们需要优化一个称为似然函数的目标函数。似然函数衡量了给定模型参数下观测到的数据的可能性。

逻辑回归的似然函数由一系列逻辑函数的乘积组成，每个逻辑函数对应于一个数据样本。最大化似然函数等价于最小化负对数似然函数，即损失函数。

常见的逻辑回归损失函数有交叉熵损失和 hinge 损失。交叉熵损失用于衡量模型预测的概率分布与真实标签分布之间的差异，而 hinge 损失则更适用于处理线性不可分的数据。

3. 梯度下降与模型求解

一旦定义了损失函数，就可以使用梯度下降算法来求解模型参数。梯度下降是一种迭代优化算法，它通过逐步更新模型参数以最小化损失函数来训练模型。

在每次迭代中，梯度下降算法计算损失函数相对于模型参数的梯度，并沿梯度负方向更新参数，从而使损失函数不断减小。

4. 正则化与过拟合

在机器学习中，过拟合是一个常见问题，指模型在训练集上表现良好，但在新数据上泛化能力差。为了防止过拟合，逻辑回归使用正则化技术。

正则化通过向损失函数添加一个惩罚项来实现，该惩罚项与模型参数的范数成正比。范数衡量了模型参数向量的长度，正则化惩罚大范数的模型，从而鼓励模型参数更接近于 0。

最常用的正则化技术是 L1 正则化（LASSO）和 L2 正则化（岭回归）。L1 正则化倾向于产生稀疏模型，其中许多参数为 0，而 L2 正则化倾向于产生平滑模型，其中所有参数都非零且较小。

5. 总结

逻辑回归是一种强大的分类算法，它利用线性回归模型和逻辑函数将数据样本映射到概率值。通过最大似然估计和梯度下降算法，可以训练逻辑回归模型，并使用正则化技术防止过拟合。

逻辑回归在各种应用中得到广泛应用，包括医疗诊断、文本分类和图像识别。其简单易懂的原理和强大的分类能力使其成为机器学习从业者不可或缺的工具。