硬币的动态规划小窍门

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2023-10-12 06:39:55

生活中，我们常常会遇到各种各样的问题，而这些问题通常可以通过一种叫做动态规划的方法来解决。动态规划是一种非常强大的算法技术，它可以帮助我们找到最优解，提高算法效率。

我们本篇文章给大家讲解一组硬币问题，借此帮助大家熟悉动态规划的“套路”，让你以后面试中能够更好地应对此类问题。

什么是硬币问题

硬币问题是动态规划中非常经典的一个问题。硬币问题是这样的：给定若干种面额的硬币，以及一个总金额，如何用最少的硬币凑成这个总金额？

例如，假设我们有以下三种面额的硬币：1元、5元和10元。现在我们要凑成15元，那么最优解就是用一张10元的硬币，再加上一张5元的硬币。

如何解决硬币问题

解决硬币问题的核心在于找到一个最优解。为了找到最优解，我们可以使用动态规划的方法。

动态规划的方法是这样的：我们先把问题分解成若干个子问题，然后逐个解决这些子问题，最后把这些子问题的解组合起来，就得到了整个问题的解。

在硬币问题中，我们可以把问题分解成若干个子问题：

子问题1：如何用最少的硬币凑成1元？
子问题2：如何用最少的硬币凑成2元？
子问题3：如何用最少的硬币凑成3元？
……
子问题n：如何用最少的硬币凑成n元？

我们逐个解决这些子问题，最后把这些子问题的解组合起来，就得到了整个问题的解。

硬币问题的动态规划解法

硬币问题的动态规划解法如下：

定义状态： dp[i]表示凑成i元所需的最小硬币数。
初始化状态： dp[0] = 0，表示凑成0元不需要任何硬币。
状态转移方程： 对于每个硬币的面额j，我们都可以通过使用j元面额的硬币来凑成i元，因此dp[i] = min(dp[i], dp[i - j] + 1)。
计算顺序： 我们从1开始计算dp[i]，一直计算到n。
返回结果： 最终，dp[n]就是凑成n元所需的最小硬币数。

硬币问题的代码实现

硬币问题的代码实现如下：

def coin_change(coins, amount):
    """
    :type coins: List[int]
    :type amount: int
    :rtype: int
    """
    dp = [amount + 1] * (amount + 1)
    dp[0] = 0
    for i in range(1, amount + 1):
        for coin in coins:
            if i - coin >= 0:
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)
    return dp[amount] if dp[amount] != amount + 1 else -1