从方程组理解线性代数入门之三：线性方程组

在我们的线性代数入门之旅中，我们已经探索了向量的基本概念以及如何利用矩阵进行线性变换。现在，我们踏入一个新的领域：线性方程组 。

线性方程组简介

线性方程组是一组同时包含多个未知量的线性方程。这些方程可以以矩阵形式表示，其中系数构成矩阵的元素。

例如，考虑以下线性方程组：

2x + 3y = 11
4x - 5y = 1

这个方程组可以表示为矩阵形式：

\begin{bmatrix}
2 & 3 \\
4 & -5
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
11 \\
1
\end{bmatrix}

其中：

• A 是一个 2x2 矩阵，其中元素是方程的系数。
• X 是一个未知数列向量。
• B 是一个常数列向量。

矩阵与行列式

矩阵是线性代数中用于组织和操作数字的矩形阵列。行列式是一个与矩阵相关联的标量值，它捕获了矩阵的某些本质特征。

对于一个 2x2 矩阵 A ，其行列式 det(A) 为：

det(A) = ad - bc

其中 a, b, c, d 是 A 的元素。

行列式用于确定矩阵是否可逆，这是求解线性方程组的关键。

克拉默法则

克拉默法则提供了一种使用行列式来求解线性方程组的通用方法。对于一个 2x2 线性方程组，克拉默法则如下：

x = (det(A_x) / det(A))
y = (det(A_y) / det(A))

其中：

• A_x 和 A_y 分别是 A 矩阵中用 X 列向量和 Y 列向量替换 B 列向量后得到的矩阵。
• det(A) 是 A 矩阵的行列式。

例子

让我们使用克拉默法则来求解我们之前的线性方程组：

2x + 3y = 11
4x - 5y = 1

A 矩阵的行列式为：

det(A) = (2)(-5) - (3)(4) = -22

用 X 列向量替换 B 列向量，得到 A_x 矩阵：

A_x =
\begin{bmatrix}
11 & 3 \\
1 & -5
\end{bmatrix}

A_x 矩阵的行列式为：

det(A_x) = (11)(-5) - (3)(1) = -52

同理，用 Y 列向量替换 B 列向量，得到 A_y 矩阵，其行列式为：

det(A_y) = (2)(1) - (3)(11) = -31

因此，解为：

x = det(A_x) / det(A) = -52 / -22 = 2.36
y = det(A_y) / det(A) = -31 / -22 = 1.41

结论

线性方程组是线性代数中的基石，用于解决广泛的应用问题。了解矩阵、行列式和克拉默法则对于求解复杂的方程组和深入理解线性代数的基础至关重要。