从数学到代码：探索 (3n+1) 猜想

闲谈

2023-09-19 14:57:40

在数学领域，(3n+1) 猜想（又称科拉兹猜想）一直是一个迷人的谜团。这个看似简单的猜想已经困扰了数学家数十年，并吸引了众多业余爱好者的兴趣。

PAT 乙级 1005 的题目邀请我们通过解决一个与 (3n+1) 猜想相关的变体问题，来探索这个概念的实际应用。在这个变体问题中，我们引入了一个新的条件：在进行递推运算时，如果遇到的数字与之前遇到的数字相同，则停止运算。

理解 (3n+1) 猜想

(3n+1) 猜想指出，对于任何正整数 n，按照以下规则重复进行运算，最终都会达到 1：

如果 n 为奇数，则将其替换为 3n+1。
如果 n 为偶数，则将其替换为 n/2。

尽管这个猜想看起来很简单，但数学家至今仍无法证明或反证它。然而，大量的计算机模拟为该猜想提供了强有力的经验支持。

PAT 乙级 1005 变体

PAT 乙级 1005 的变体题目要求我们计算一个正整数 n 经过 (3n+1) 猜想递推运算后，达到 1 所需的步骤数。如果在运算过程中遇到了之前遇到的数字，则停止运算并输出结果。

C++ 程序实现

为了解决 PAT 乙级 1005 的变体，我们可以使用 C++ 编写一个程序。程序使用一个哈希表来记录遇到的数字，并使用循环来进行递推运算。以下是如何实现该程序：

#include <iostream>
#include <unordered_map>

using namespace std;

int main() {
  int n;
  cin >> n;

  // 使用哈希表记录遇到的数字
  unordered_map<int, int> visited;

  // 递推运算计数器
  int count = 0;

  while (n != 1) {
    // 如果遇到之前遇到的数字，则停止运算
    if (visited.find(n) != visited.end()) {
      break;
    }

    // 记录遇到的数字
    visited[n] = count;

    // 进行递推运算
    if (n % 2 == 0) {
      n /= 2;
    } else {
      n = 3 * n + 1;
    }

    // 递推运算计数器加一
    count++;
  }

  cout << count << endl;
  return 0;
}