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几何渲染中的隐式表示与几何碰撞的算法实现

闲谈

1 隐式几何表示

在计算机图形学中，隐式几何表示是一种将几何形状表示为方程或不等式的集合的方法。这种表示法通常用于表示复杂或不规则的形状，因为它可以避免显式地存储形状的顶点和边。

隐式几何表示的优点包括：

  • 可以表示任意形状的物体。
  • 计算起来通常比显式几何表示更简单。
  • 可以很容易地进行布尔运算。

隐式几何表示的缺点包括：

  • 可能很难可视化。
  • 可能很难与其他几何表示进行转换。

2 三角形的重心坐标

三角形的重心坐标是三角形内任意一点到三角形三个顶点的距离的比值。重心坐标可以用来表示三角形内的任何一点。

求解三角形重心坐标的公式如下：

u = (y2 - y3) / (y1 - y2 - y3 + y1)
v = (y3 - y1) / (y1 - y2 - y3 + y1)
w = 1 - u - v

其中，u、v和w分别为点P到三角形三个顶点的距离的比值。

3 射线与几何体的相交

射线与几何体的相交是计算机图形学中的一个基本问题。射线与几何体的相交可以用来进行碰撞检测、阴影计算和可视化等操作。

射线与几何体的相交公式通常是通过几何学的基本原理推导出来的。例如，射线与球体的相交公式可以根据球体的方程和射线の方程推导出来。

以下是一些常见几何体的射线相交公式：

  • 射线与球体相交：
t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

其中，a、b和c是球体方程的系数，t是射线与球体的交点。

  • 射线与平面相交：
t = -(d + n · p) / (n · v)

其中，d是平面到原点的距离，n是平面的法向量，p是射线在原点的坐标，v是射线的方向向量，t是射线与平面的交点。

  • 射线与矩形相交：
t = min(t1, t2, t3, t4)

其中，t1、t2、t3和t4分别是射线与矩形的四个边的交点。

  • 射线与三角形相交：
t = min(t1, t2, t3)

其中，t1、t2和t3分别是射线与三角形的三个边的交点。

4 几何碰撞算法

几何碰撞算法是用来检测两个或多个几何体之间是否发生碰撞的算法。几何碰撞算法通常是基于射线相交算法实现的。

以下是一些常见的几何碰撞算法：

  • 分离轴定理：分离轴定理是一种简单的几何碰撞算法，它通过检查两个几何体的投影是否重叠来判断它们是否发生碰撞。
  • 最近点算法：最近点算法是一种几何碰撞算法，它通过找到两个几何体之间最近的两个点来判断它们是否发生碰撞。
  • 吉尔伯特-约翰逊-克尔利（GJK）算法：GJK算法是一种几何碰撞算法，它通过迭代地找到两个几何体之间最近的两个点来判断它们是否发生碰撞。GJK算法比分离轴定理和最近点算法更准确，但计算量也更大。

5 总结

在本文中，我们首先概述了简单的几何形状的隐式几何表示，接着讨论如何求解三角形的重心坐标，最后推导出射线与球体、平面、矩形、三角形以及包围盒等一系列常见几何相交的公式，并讨论与几何碰撞相关的算法实现。