LeetCode Hot 100: 022 括号生成 - 大力出奇迹

022.括号生成：深入剖析回溯算法与优化技巧

深入浅出，剖析解题思路

踏上 LeetCode Hot 100 的征程，我们来到了一道看似简单却颇具挑战的题目：022. 括号生成。乍一看，这道题要求我们生成所有有效的括号序列，似乎不难。但深入探究后，你会发现它蕴含着不小的组合技巧。

22. 括号生成问题的本质是一个组合问题，我们需要生成所有满足左右括号匹配且嵌套正确的序列。解决此类问题的一个利器便是回溯算法。

回溯算法是一种深度优先搜索算法，它从一个初始状态出发，逐步尝试所有可能的路径，并在不可行时回溯到上一步，尝试不同的选择。对于括号生成问题，我们以一个空串作为初始状态，逐步添加左括号或右括号，直到生成一个有效的序列。

代码实现，直观明了

def generateParenthesis(n):
    def backtrack(s, left, right):
        if len(s) == 2 * n:
            res.append(s)
            return
        if left < n:
            backtrack(s + '(', left + 1, right)
        if right < left:
            backtrack(s + ')', left, right + 1)
    res = []
    backtrack('', 0, 0)
    return res

在这个实现中，我们用一个空串 s 代表当前生成的序列，两个变量 left 和 right 分别记录左括号和右括号的数量，res 则用于存储最终结果。

回溯函数 backtrack 的工作方式如下：首先检查当前序列是否完整（即长度达到 2 * n），如果是则将其添加到结果中。否则，根据以下规则探索两种选择：

• 如果左括号数量小于 n，则添加一个左括号；
• 如果右括号数量小于左括号数量，则添加一个右括号。

优化技巧，提升效率

虽然回溯算法可以解决问题，但效率并不高，尤其是对于较大的 n 值。因此，我们需要引入一些优化技巧：

• 剪枝： 在回溯过程中，如果当前序列已经不满足有效性条件（如左括号数量大于右括号数量），则直接返回，避免进一步的无用探索。
• 动态规划： 我们可以使用动态规划来存储已经计算过的子问题的结果。当需要解决相同子问题时，直接返回存储的结果，避免重复计算。

复杂度分析，深入理解

• 时间复杂度： O(4^n / sqrt(n))
• 空间复杂度： O(4^n / sqrt(n))

总结要点，全面回顾

• 22. 括号生成是一道经典的组合问题，可以使用回溯算法解决；
• 通过剪枝和动态规划等优化技巧，我们可以提高回溯算法的效率；
• 理解这道题的解题思路和技巧，有助于我们解决其他类似的组合问题。

常见问题解答，释疑解惑

1. 回溯算法和递归有什么区别？

回溯算法是一种深度优先搜索算法，而递归是一种函数调用自身的编程技巧。回溯算法会在需要时返回上一步，而递归则会一直深入调用自身，直到达到基线条件。

2. 剪枝如何提高效率？

剪枝可以避免探索无效的序列，从而减少回溯算法的搜索范围，显著提高效率。

3. 动态规划如何应用于括号生成问题？

我们可以用一个二维数组 dp 存储已经计算过的子问题的答案。其中 dp[i][j] 表示使用 i 个左括号和 j 个右括号生成有效序列的方案数。通过动态规划，我们可以避免重复计算相同子问题。

4. 为什么复杂度是 O(4^n / sqrt(n))？

这是一个经典的卡特兰数问题。生成长度为 2n 的括号序列共有 4 种基本操作：左括号、右括号、匹配的左右括号对以及无效序列。对于每个有效的序列，会有 n 个匹配的左右括号对，因此有 C(n) = 4^n / (n + 1) 个有效的序列。经过化简，得到复杂度为 O(4^n / sqrt(n))。

5. 除了回溯算法，还有其他解决括号生成问题的方法吗？

除了回溯算法，我们还可以使用数学公式、Catalan 数等数学工具来解决括号生成问题，但回溯算法是最直观和易于理解的方法。