快速幂算法：指数级加速幂运算的利器

2023-10-16 17:08:00

快速幂算法原理

快速幂算法基于一个简单的数学原理：任何正整数N都可以表示为2的幂之和，即

N = a_0 * 2^0 + a_1 * 2^1 + ... + a_k * 2^k

其中，a_i为0或1，k为N的二进制表示中的最高位。利用这个原理，我们可以将x^N的计算转化为若干个小规模的幂运算的组合。具体步骤如下：

将N表示成二进制形式。
从右到左扫描N的二进制表示，对于每个为1的位，计算x的该位对应的幂。
将这些小规模的幂运算的结果相乘，即可得到x^N的结果。

例如，计算5^13：

13的二进制表示为1101。
从右到左扫描1101，发现第0位、第2位和第3位为1。
计算5^1、5^4和5^8。
将这些结果相乘，得到5^13 = 1220703125。

快速幂算法实现

快速幂算法的实现非常简单，可以很容易地用编程语言实现。以下是用Python实现的快速幂算法：

def fast_pow(x, n, mod=None):
    """
    快速幂算法。

    参数：
        x: 底数。
        n: 指数。
        mod: 取模数（可选）。

    返回：
        x^n的结果。
    """

    if n == 0:
        return 1
    elif n == 1:
        return x

    result = 1
    while n > 0:
        if n % 2 == 1:
            result *= x
            if mod is not None:
                result %= mod
        x *= x
        if mod is not None:
            x %= mod
        n //= 2

    return result