Binary Subarrays With Sum（二进制子数组与和）：理论与实践

2024-02-09 07:59:37

导论：LeetCode与930. Binary Subarrays With Sum

LeetCode 是一个备受推崇的在线编程学习平台，凭借其庞大且质量上乘的编程题目库，它帮助无数程序员磨砺算法与编程技能。其中，930. Binary Subarrays With Sum（二进制子数组与和） 是一个颇具挑战性的题目，它考验了程序员对二进制数组、子数组和异或等概念的掌握，以及对动态规划算法的理解与应用能力。

题目阐述：寻找符合条件的子数组

题目：给定一个二进制数组nums和一个整数k，求出nums中和为k的非空子数组的个数。

示例 1 ：

输入：nums = [1,0,1,0,1], k = 2
输出：4
解释：
- [1,0,1]的和为2。
- [0,1,1]的和为2。
- [1,1]的和为2。
- [1]的和为2。
因此，符合条件的子数组个数为4。

示例 2 ：

输入：nums = [0,0,0,0,0], k = 0
输出：15
解释：
除了所有元素为0的子数组之外，还有以下子数组的和为0：
- []的和为0
因此，符合条件的子数组个数为15。

直观算法：穷举与优化

面对930. Binary Subarrays With Sum，我们可以采用一种直观的方法，即穷举所有可能的子数组，并计算每个子数组的和，来找到满足条件的子数组个数。然而，这种方法的时间复杂度为O(n^3) ，其中n为数组nums的长度，显然是无法接受的。

为了优化算法，我们可以利用异或的性质：对于一个二进制数组，若子数组的异或和等于k，那么该子数组的和必定等于k。因此，我们可以通过计算前缀异或和，来快速判断子数组的和是否等于k。

构建动态规划：前缀异或和与状态转移

有了异或的性质之后，我们可以构建一个动态规划算法。首先，我们计算出数组nums的前缀异或和preXOR，其中preXOR[i]表示nums的前i个元素的异或和。然后，我们定义一个状态dp[i]，表示以nums的第i个元素结尾的子数组中，满足和为k的子数组的个数。

状态转移方程 ：

dp[i] = dp[j] + 1, 其中j < i且preXOR[i] - preXOR[j] = k

该方程的含义是，如果存在一个子数组[j, i]的异或和等于k，那么以nums的第i个元素结尾的子数组中，满足和为k的子数组的个数就等于以nums的第j个元素结尾的子数组中，满足和为k的子数组的个数加1。

代码实现：Python解决方案

def numSubarraysWithSum(nums, k):
  # 计算前缀异或和
  preXOR = [0] * len(nums)
  preXOR[0] = nums[0]
  for i in range(1, len(nums)):
    preXOR[i] = preXOR[i - 1] ^ nums[i]

  # 定义状态dp
  dp = [0] * len(nums)
  if preXOR[0] == k:
    dp[0] = 1

  # 状态转移
  for i in range(1, len(nums)):
    for j in range(i):
      if preXOR[i] - preXOR[j] == k:
        dp[i] += dp[j] + 1

  # 返回结果
  return dp[-1]