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深入浅出数学基础：线性代数中的二、三阶行列式探索

人工智能

导语

进入机器学习的神秘领域，数学便是不可或缺的基石。在数学基础的海洋中，线性代数无疑是一座不容忽视的灯塔。作为线性代数之旅的起点，我们踏上了探索二阶与三阶行列式的征程，这将为我们日后深入机器学习的殿堂奠定坚实的数学基础。

二阶行列式

二阶行列式，顾名思义，是由两个一维数组组成的行列式。它的计算公式十分简洁：

det(A) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}*a_{22} - a_{12}*a_{21}

例如，对于二阶矩阵A，如果：

A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \ 3 & 4 \end{bmatrix}

则其行列式为：

det(A) = 2*4 - (-1)*3 = 11

三阶行列式

三阶行列式的计算稍显复杂，涉及行列式展开和余子式的概念。三阶行列式det(A)可以表示为：

det(A) = a_{11}C_{11} - a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13}

其中，C_{ij}是行列式A中删除第i行和第j列后所得二阶子式的行列式。

例如，对于三阶矩阵A，如果：

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \ 4 & 5 & 6 \ -7 & 8 & 9 \end{bmatrix}

则其行列式为：

det(A) = 1*det(C_{11}) - 2*det(C_{12}) + (-3)*det(C_{13})

其中，

C_{11} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \ 8 & 9 \end{bmatrix}, C_{12} = \begin{bmatrix} 4 & 6 \ -7 & 9 \end{bmatrix}, C_{13} = \begin{bmatrix} 4 & 5 \ -7 & 8 \end{bmatrix}

计算每个子式得到：

det(C_{11}) = 45 - 48 = -3, det(C_{12}) = -28 + 42 = 14, det(C_{13}) = 32 - 35 = -3

代入主行列式公式：

det(A) = 1*(-3) - 2*(14) + (-3)*(-3) = -17

全排列及其逆序数

在行列式的计算中，全排列的概念至关重要。全排列是指从n个不同元素中取出所有元素并按一定顺序排列的所有排列方式。例如，对于3个元素{a, b, c}，全排列有6种：

(a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a)

逆序数是指一个排列中，比它后面元素小的元素个数。例如，在排列(c, b, a)中，c的逆序数为1，因为c比它后面元素b和小。

结语

二阶与三阶行列式的探索只是线性代数的冰山一角。随着我们深入机器学习的领域，更多高级的数学概念将相继展现在我们面前。掌握这些数学基础，如同为我们在机器学习的道路上铺设了一条通向未来的康庄大道。