LeetCode 1663：最小体力消耗的动态规划解法

引言

LeetCode 1663 是一个中等难度的动态规划问题，要求您找到在网格中从左上角移动到右下角的最小体力消耗。网格中的每个单元格都有一个非负整数表示体力消耗，您只能向右或向下移动。

解决此问题的一种方法是使用动态规划。动态规划是一种自顶向下的方法，其中将问题分解为较小的子问题，然后逐步解决这些子问题，直到找到整个问题的解决方案。

动态规划解决方案

要使用动态规划解决此问题，首先需要定义一个状态函数。状态函数将跟踪我们到达网格中每个单元格所需的最小体力消耗。

状态函数定义如下：

dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]

其中：

• dp[i][j] 是从左上角移动到单元格 (i, j) 所需的最小体力消耗。
• dp[i-1][j] 是从左上角移动到单元格 (i-1, j) 所需的最小体力消耗。
• dp[i][j-1] 是从左上角移动到单元格 (i, j-1) 所需的最小体力消耗。
• grid[i][j] 是单元格 (i, j) 的体力消耗。

要计算状态函数，我们可以从左上角开始，然后向右和向下移动，直到到达右下角。在每个单元格中，我们使用以下公式计算状态函数：

dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]

并查集优化

使用动态规划解决此问题的一种优化方法是使用并查集。并查集是一种数据结构，可用于查找和合并集合。在我们的情况下，我们可以使用并查集来跟踪哪些单元格已连接。

要使用并查集优化动态规划算法，我们需要执行以下步骤：

1. 创建一个并查集，其中每个单元格都是一个单独的集合。
2. 对于网格中的每个单元格，执行以下步骤：
   • 将单元格 (i, j) 与单元格 (i-1, j) 和 (i, j-1) 合并到同一个集合中。
   • 如果单元格 (i, j) 与单元格 (i-1, j) 和 (i, j-1) 不在同一个集合中，则将这两个集合合并。
3. 从左上角开始，然后向右和向下移动，直到到达右下角。在每个单元格中，我们使用以下公式计算状态函数：

dp[i][j] = min(dp[find(i-1, j)], dp[find(i, j-1)]) + grid[i][j]

其中：

• find(i, j) 是查找单元格 (i, j) 所在的集合的函数。
• dp[find(i-1, j)] 是从左上角移动到单元格 (i-1, j) 所需的最小体力消耗。
• dp[find(i, j-1)] 是从左上角移动到单元格 (i, j-1) 所需的最小体力消耗。
• grid[i][j] 是单元格 (i, j) 的体力消耗。

结论

LeetCode 1663 是一个中等难度的动态规划问题。我们已经讨论了两种解决此问题的动态规划方法：使用动态规划和使用并查集优化的动态规划。并查集优化的方法比基本动态规划方法更有效，因为它可以减少需要计算的状态函数的数量。

希望这篇文章对您有所帮助。如果您有任何问题，请随时提出。