揭开「丑数 II」的神秘面纱：踏上动态规划的寻宝之旅

2023-12-10 15:36:56

在数学的世界里，丑数是一个迷人的存在。它们有着独特的性质，与我们的日常生活息息相关。丑数与许多领域有着密切的联系，例如计算机科学、密码学和数论等。丑数在这些领域中扮演着重要的角色，帮助我们解决各种各样的问题。

本篇文章将带你领略丑数的魅力，并教你如何利用动态规划算法找出第 n 个丑数。动态规划算法是一种强大的算法设计范式，它将复杂的问题分解成一系列子问题，然后逐个解决这些子问题，最终得到问题的整体解。动态规划算法因其高效性和广泛的适用性而备受推崇。

现在，让我们开始我们的丑数之旅吧！首先，我们来定义一下丑数：丑数是指仅包含质因数 2、3 和 5 的正整数。例如，1、2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、16等都是丑数。

接下来，我们来探讨一下如何利用动态规划算法找出第 n 个丑数。动态规划算法的思想是将问题分解成一系列子问题，然后逐个解决这些子问题，最终得到问题的整体解。在「丑数 II」问题中，我们可以将问题分解成如下子问题：

第 1 个丑数是多少？
第 2 个丑数是多少？
……
第 n 个丑数是多少？

我们可以使用一个数组 dp 来存储丑数。dp[i] 表示第 i 个丑数。我们从 dp[1] 开始，依次计算出 dp[2]、dp[3]、……、dp[n]。

在计算 dp[i] 的时候，我们需要考虑以下三种情况：

如果 dp[i] 可以由 2 乘以某个丑数得到，那么 dp[i] 就是最小的这样的丑数。
如果 dp[i] 可以由 3 乘以某个丑数得到，那么 dp[i] 就是最小的这样的丑数。
如果 dp[i] 可以由 5 乘以某个丑数得到，那么 dp[i] 就是最小的这样的丑数。

通过比较这三种情况，我们可以得到 dp[i] 的值。

以下是使用动态规划算法计算第 n 个丑数的 Python 代码：

def get_ugly_number(n):
    if n <= 0:
        return None

    dp = [0] * n

    # 初始化前三个丑数
    dp[0] = 1
    dp[1] = 2
    dp[2] = 3

    # 从第四个丑数开始计算
    i2 = 0
    i3 = 0
    i5 = 0

    for i in range(3, n):
        # 计算下一个丑数
        next_ugly_number = min(dp[i2] * 2, dp[i3] * 3, dp[i5] * 5)

        # 更新指针
        if next_ugly_number == dp[i2] * 2:
            i2 += 1
        if next_ugly_number == dp[i3] * 3:
            i3 += 1
        if next_ugly_number == dp[i5] * 5:
            i5 += 1

        # 保存下一个丑数
        dp[i] = next_ugly_number

    return dp[n - 1]


if __name__ == "__main__":
    n = int(input("请输入要查找的第 n 个丑数："))
    print("第", n, "个丑数是：", get_ugly_number(n))