盛最多水的容器--揭秘木桶效应的数学奥秘！

前端

2023-09-30 23:03:26

前言

众所周知，木桶盛水的最大容量取决于木桶最短的那块木板。这个原理被形象地称为木桶原理或短板效应。但在实际生活中，很多事情与木桶原理截然相反，这也引发了我的思考。

今天，我们就以LeetCode11 盛最多水的容器为题，来揭秘木桶效应背后的数学奥秘。

题目背景

给你 n 个非负整数 a1，a2，...，an，每个数代表坐标中的一个竖直栅栏，栅栏 i 的高度为 ai。在栅栏之间，水可以被困住。求可以困住的最大水量。

解题思路

乍一看，这个问题似乎与木桶原理相似，但仔细分析后，我们发现，要想困住最多的水，我们需要关注的是最高的两块木板之间的距离，而不是最短的那块木板。

这个过程，就像是在用两个指针动态规划一样。我们从两端开始，逐渐向中间移动，每次都选择当前两端中较矮的那一块木板作为新的边界，并将较高的另一端向中间移动。

数学证明

为了证明这种方法的正确性，我们可以使用数学归纳法。

基本情况：

当 n = 2 时，显然，最高的两块木板之间的距离就是最大水量。

归纳假设：

假设对于 n < k，以上方法可以找到盛最多水的容器。

归纳步骤：

当 n = k 时，我们有两种情况：

左边木板较高：在这种情况下，我们可以将右边木板向中间移动，而左边木板的高度不变，显然，此时盛水量不会减少。
右边木板较高：同理，我们将左边木板向中间移动，右边木板的高度不变，盛水量也不会减少。

因此，在任何情况下，这种方法都可以找到盛最多水的容器。

算法实现

public int maxArea(int[] height) {
    int left = 0, right = height.length - 1, maxArea = 0;
    while (left < right) {
        maxArea = Math.max(maxArea, (right - left) * Math.min(height[left], height[right]));
        if (height[left] < height[right]) {
            left++;
        } else {
            right--;
        }
    }
    return maxArea;
}