DFS 算法 + 回溯：n 皇后问题

2023-09-30 22:41:22

探索迷人的 n 皇后问题，挑战您的编程技能

介绍

n 皇后问题是一个经典的组合问题，它挑战您在 n×n 的棋盘上放置 n 个皇后，使得任何两个皇后都不处于同一行、同一列或同一斜线上。这个富有洞察力和逻辑性的问题在编程和数学领域都备受推崇。

本指南将带您踏上解决 n 皇后问题之旅，我们从 DFS（深度优先搜索）算法开始，它在解决回溯类问题时表现出色。我们还将提供直观的代码示例，帮助您轻松理解和掌握解决方案。

DFS 算法

DFS 算法（Depth-First Search）是一种用来遍历树或图的数据结构的算法。它从树或图的根节点开始，沿着一条路径一直向下搜索到该路径上的最后一个节点，然后回溯到前一个节点，再沿着另一条路径继续搜索，如此重复，直到遍历完整个树或图。

DFS 算法的特点是它会沿着一棵树或图进行深度优先搜索，从而找到可能的解决方案。这使其非常适合解决 n 皇后问题。

实现 DFS 算法

在 Python 中，我们可以使用递归来实现 DFS 算法，如下所示：

def dfs(n, current_row, columns, diagonals1, diagonals2):
  if current_row == n:
    return 1

  total = 0
  for col in range(n):
    if columns[col] or diagonals1[current_row + col] or diagonals2[current_row - col]:
      continue
    columns[col] = diagonals1[current_row + col] = diagonals2[current_row - col] = True
    total += dfs(n, current_row + 1, columns, diagonals1, diagonals2)
    columns[col] = diagonals1[current_row + col] = diagonals2[current_row - col] = False
  return total

该函数接受五个参数：

n：棋盘的大小
current_row：当前要放置皇后的行数
columns：一个布尔数组，表示每一列是否放置了皇后
diagonals1：一个布尔数组，表示从左上到右下的对角线是否放置了皇后
diagonals2：一个布尔数组，表示从右上到左下的对角线是否放置了皇后
如果找到一个有效的解决方案，该函数将返回 1，否则返回 0。

求解 n 皇后问题

现在，让我们看看如何利用 DFS 算法解决 n 皇后问题。我们可以从第一行开始搜索，尝试在每一列放置一个皇后，如果该列没有皇后，我们就将该列标记为已放置皇后，然后继续搜索下一行。如果我们发现一个位置无法放置皇后，我们就回溯到前一个位置，并尝试在下一列放置皇后。

这个过程一直持续到我们找到一个有效的解决方案或遍历完整个棋盘。如果我们找到一个有效的解决方案，我们就输出它，否则我们就输出 -1。

代码示例

def solve_n_queens(n):
  columns = [False] * n
  diagonals1 = [False] * (2 * n - 1)
  diagonals2 = [False] * (2 * n - 1)
  return dfs(n, 0, columns, diagonals1, diagonals2)


if __name__ == "__main__":
  n = int(input("Enter the size of the chessboard: "))
  solutions = solve_n_queens(n)
  if solutions == -1:
    print("No solution exists for a {}x{} board.".format(n, n))
  else:
    print("Total number of solutions:", solutions)