在二叉树中添加一行：优雅而有效的算法

如何在二叉树中优雅地添加一行

在计算机科学的浩瀚世界中，二叉树是一种常见且有用的数据结构，广泛应用于各种算法和数据存储场景中。二叉树的结构类似于一棵倒置的树，其中每个节点最多有两个子节点：左子节点和右子节点。

什么是"在二叉树中添加一行"问题？

"在二叉树中添加一行"是一个经典的编程面试问题，它考察你对二叉树操作和递归算法的理解。给定一棵二叉树和两个整数 v 和 d，该问题要求你在二叉树的第 d 层添加一个新的节点，其值等于 v。这里需要注意以下几点：

• 如果第 d 层不存在，则将其添加到树中。
• 如果第 d 层已经存在，则在原有节点之间插入新节点。

解决方案：采用递归算法

解决这一问题，我们采用一种递归的算法。递归的本质是将一个大问题分解成更小的子问题，并反复应用同一算法来解决子问题。

算法思路

1. 递归基线： 如果 d 等于 1，则表明需要在根节点处添加新节点。创建一个新节点 newNode，将其值设为 v，并将原根节点作为其右子节点。将 newNode 作为新的根节点返回。
2. 递归步骤：
   • 如果 d 大于 1，则递归地遍历左子树和右子树。
   • 在左子树递归后，在左子树的最后一个节点和其右子节点之间插入新节点 newNode。
   • 在右子树递归后，在右子树的最后一个节点和其右子节点之间插入新节点 newNode。
   • 返回更新后的根节点。

代码实现

def addOneRow(root, v, d):
    if d == 1:
        newNode = TreeNode(v)
        newNode.left = root
        return newNode

    def helper(node, depth):
        if not node:
            return

        if depth == d - 1:
            leftNode = node.left
            rightNode = node.right

            node.left = TreeNode(v)
            node.left.left = leftNode
            node.right = TreeNode(v)
            node.right.right = rightNode

        else:
            helper(node.left, depth + 1)
            helper(node.right, depth + 1)

    helper(root, 1)
    return root

复杂度分析

• 时间复杂度：O(N)，其中 N 是二叉树的节点数。递归算法需要遍历整个树，因此时间复杂度与树的规模成正比。
• 空间复杂度：O(N)，在最坏的情况下，需要为每个节点创建一个新节点，因此空间复杂度也与树的规模成正比。

常见问题解答

1. 如何判断第 d 层是否存在？

递归算法在遍历到第 d 层时，如果当前节点不为空，则说明第 d 层已经存在。

2. 为什么需要在左子树递归后插入新节点？

这是因为我们要在第 d 层的每个节点之前插入新节点。在左子树递归后，我们已经遍历到了第 d 层的最后一个节点，因此需要在此处插入新节点。

3. 如何处理第 d 层只有根节点的情况？

在递归基线中，我们专门处理了 d 等于 1 的情况，即需要在根节点处添加新节点。

4. 算法是否会改变原二叉树的结构？

是的，算法会修改原二叉树的结构，在第 d 层的每个节点之前插入新节点。

5. 算法的递归深度是多少？

算法的递归深度最大为 d，即需要添加新节点的层数。