精准掌握向量叉乘特性，简单判断多边形是否为复杂多边形

2023-10-27 18:01:25

几何图形的世界中，多边形占据着重要的地位。它们被广泛应用于各个领域，从艺术到科学，从工程到设计。为了对多边形进行有效的处理和分析，对其进行分类是很有必要的。多边形可以归纳为简单多边形与复杂多边形，判断依据就是其边是否有相交。本文将介绍如何利用向量叉乘的特性，简单而高效地判断多边形是否为复杂多边形。

向量叉乘的特性

向量叉乘是一种二元向量运算，它可以产生一个与两个原始向量垂直的新向量。叉乘运算的特性如下：

叉乘运算满足反交换律，即
\bold{A}\times\bold{B}=-\bold{B}\times\bold{A}。
叉乘运算满足分配律，即
\bold{A}\times(\bold{B}+\bold{C})=\bold{A}\times\bold{B}+\bold{A}\times\bold{C}。
叉乘运算满足结合律，即
\bold{A}\times(\bold{B}\times\bold{C})=(\bold{A}\times\bold{B})\times\bold{C}。
叉乘运算的模长与两个原始向量所形成的平行四边形的面积成正比，即
|\bold{A}\times\bold{B}|=|\bold{A}||\bold{B}|\sin\theta，其中\theta是\bold{A}和\bold{B}之间的夹角。
叉乘运算的结果与两个原始向量所形成的平面平行，即
\bold{A}\times\bold{B}\cdot\bold{C}=0，其中\bold{C}是与\bold{A}和\bold{B}垂直的向量。

利用向量叉乘判断多边形是否复杂

我们可以利用向量叉乘的特性来判断多边形是否为复杂多边形。方法如下：

首先，我们需要将多边形的所有顶点表示为向量。
然后，我们计算相邻顶点之间的向量叉乘。
如果相邻顶点之间的向量叉乘为零向量，则表明这两条边是共线的。
如果相邻顶点之间的向量叉乘不为零向量，则表明这两条边不是共线的。
如果多边形的所有相邻顶点之间的向量叉乘都不为零向量，则该多边形是简单多边形。
如果多边形存在相邻顶点之间的向量叉乘为零向量，则该多边形是复杂多边形。

实例

为了更好地理解如何利用向量叉乘判断多边形是否复杂，我们来看一个例子。如下图所示，有一个五边形ABCDE。

[图片]

我们可以将五边形ABCDE的顶点表示为如下向量：

\bold{A}=(1,2)
\bold{B}=(3,4)
\bold{C}=(5,6)
\bold{D}=(7,8)
\bold{E}=(9,10)

然后，我们可以计算相邻顶点之间的向量叉乘：

\bold{A}\times\bold{B}=\left|\begin{array}{rrr}\bold{i} & \bold{j} & \bold{k} \\\ 1 & 2 & 0 \\\ 3 & 4 & 0 \end{array}\right|=\bold{k}
\bold{B}\times\bold{C}=\left|\begin{array}{rrr}\bold{i} & \bold{j} & \bold{k} \\\ 3 & 4 & 0 \\\ 5 & 6 & 0 \end{array}\right|=-\bold{k}
\bold{C}\times\bold{D}=\left|\begin{array}{rrr}\bold{i} & \bold{j} & \bold{k} \\\ 5 & 6 & 0 \\\ 7 & 8 & 0 \end{array}\right|=\bold{k}
\bold{D}\times\bold{E}=\left|\begin{array}{rrr}\bold{i} & \bold{j} & \bold{k} \\\ 7 & 8 & 0 \\\ 9 & 10 & 0 \end{array}\right|=-\bold{k}
\bold{E}\times\bold{A}=\left|\begin{array}{rrr}\bold{i} & \bold{j} & \bold{k} \\\ 9 & 10 & 0 \\\ 1 & 2 & 0 \end{array}\right|=\bold{k}

我们可以看到，五边形ABCDE的相邻顶点之间的向量叉乘都不为零向量。因此，五边形ABCDE是简单多边形。