揭秘「7-4 最近的斐波那契数」：一步步详解完美解法

2023-11-04 04:05:27

一、斐波那契数列：从历史到数学

斐波那契数列，一个神秘而优雅的数字序列，自古以来就吸引着人们的好奇心。它以意大利数学家斐波那契的名字命名，在公元1202年出版的《计算之书》中首次被正式提出。

斐波那契数列的定义简单而巧妙：

F(0) = 0
F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2)  (n ≥ 2)

二、最近的斐波那契数：理解题目要求

在本次任务中，我们首先要明确题目的要求：找到与给定的整数 N 最近的斐波那契数。

最近的斐波那契数是指满足以下条件的斐波那契数：

它小于或等于 N
它与 N 的差值最小

三、算法设计：巧用递归，步步逼近

既然已经理解了题目的要求，那么我们就需要设计一个算法来解决这个问题。我们自然地想到了递归，一种在算法设计中经常使用的强大工具。

我们的递归算法将遵循以下步骤：

如果 N 小于或等于 1，则最近的斐波那契数就是 N 本身。
否则，最近的斐波那契数要么是 F(n-1)，要么是 F(n-2)。
我们只需要比较 F(n-1) 和 F(n-2) 与 N 的差值，选择差值较小的那个作为最近的斐波那契数。
为了计算 F(n-1) 和 F(n-2)，我们可以递归地调用该算法。

四、代码实现：将算法付诸实践

有了算法设计，我们就可以将其转化为代码，使用编程语言来实现。以下是使用 C++ 语言的代码示例：

#include <iostream>
using namespace std;

int fib(int n) {
    if (n <= 1) {
        return n;
    } else {
        return fib(n-1) + fib(n-2);
    }
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    int fib_n = fib(n);
    int fib_n_minus_1 = fib(n-1);
    int fib_n_minus_2 = fib(n-2);
    int diff_n = n - fib_n;
    int diff_n_minus_1 = n - fib_n_minus_1;
    int diff_n_minus_2 = n - fib_n_minus_2;
    int min_diff = min(diff_n, min(diff_n_minus_1, diff_n_minus_2));
    if (min_diff == diff_n) {
        cout << fib_n << endl;
    } else if (min_diff == diff_n_minus_1) {
        cout << fib_n_minus_1 << endl;
    } else {
        cout << fib_n_minus_2 << endl;
    }
    return 0;
}