LeetCode 64 最小路径和：了解问题本质轻松应对

前端

2023-09-18 05:25:29

正视挑战：了解问题的本质

最小路径和，乍一听像是个棘手的问题，实际上它反映的是动态规划的核心本质——在解决问题时，需要将大问题拆解成更小的子问题，并在子问题得到解决后逐步向上汇总，最终解决大问题。

破解密码：动态规划的妙用

解决最小路径和问题，需要从左上角的单元格出发，逐步向右下角移动，并记录经过每个单元格的路径和。这个过程，实际上就是动态规划中的状态转移方程：

f(i, j) = min(f(i-1, j), f(i, j-1)) + grid(i, j)

其中，f(i, j)表示从左上角到单元格(i, j)的最小路径和，grid(i, j)表示单元格(i, j)的值。

划重点：状态转移方程及特殊情况

状态转移方程的核心是确定当前单元格的最小路径和，需要用到之前单元格的最小路径和，并加上当前单元格的值。

需要注意的是，对于第一行和第一列的单元格，由于它们没有上一个或左一个单元格，因此需要特殊处理。

见证奇迹：解题步骤及代码实现

步骤一：初始化

创建一个二维数组dp，其大小与网格grid相同，dp[i][j]表示从左上角到单元格(i, j)的最小路径和。将dp[0][0]设为grid[0][0]。

步骤二：动态规划

对于i从1到m-1，进行如下操作：

计算dp[i][0]，其值为grid[i][0]加上dp[i-1][0]。
对于j从1到n-1，进行如下操作：
- 计算dp[i][j]，其值为grid[i][j]加上较小的dp值，即min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。

步骤三：输出结果

返回dp[m-1][n-1]，即从左上角到右下角的最小路径和。

附上代码示例，方便理解：

def min_path_sum(grid):
  m, n = len(grid), len(grid[0])
  dp = [[0] * n for _ in range(m)]
  dp[0][0] = grid[0][0]

  # 计算第一行
  for i in range(1, m):
    dp[i][0] = grid[i][0] + dp[i-1][0]

  # 计算第一列
  for j in range(1, n):
    dp[0][j] = grid[0][j] + dp[0][j-1]

  # 计算其他单元格
  for i in range(1, m):
    for j in range(1, n):
      dp[i][j] = grid[i][j] + min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

  return dp[m-1][n-1]