自平衡二叉树: AVL树结构与经典的插入操作深入剖析

2023-11-26 17:48:45

引言

在计算机科学领域，二叉搜索树是一种广泛应用的数据结构，它可以快速地查找、插入和删除数据。然而，在某些情况下，二叉搜索树可能会变得不平衡，导致搜索、插入和删除操作的效率降低。为了解决这个问题，计算机科学家发明了自平衡二叉搜索树，如AVL树。

AVL树概述

AVL树（Adelson-Velsky and Landis tree）是一种自平衡二叉搜索树，由两位苏联计算机科学家Adelson-Velsky和Landis在1962年发明。AVL树通过保持左右子树高度之差最多为1来实现平衡。这种平衡特性保证了AVL树的搜索、插入和删除操作的时间复杂度为O(log n)，其中n是树中的节点数。

AVL树的结构

AVL树是一种二叉搜索树，这意味着每个节点都包含一个键值和两个子节点：左子节点和右子节点。左子节点包含的键值小于父节点的键值，右子节点包含的键值大于父节点的键值。

AVL树的平衡特性体现在它的平衡因子（balance factor）上。平衡因子定义为左子树的高度减去右子树的高度。平衡因子可以为-1、0或1。如果一个节点的平衡因子为-1，则意味着它的左子树比右子树高；如果一个节点的平衡因子为0，则意味着它的左右子树的高度相等；如果一个节点的平衡因子为1，则意味着它的右子树比左子树高。

AVL树的插入操作

当向AVL树中插入一个新节点时，需要先将新节点插入到适当的位置，然后调整树的结构以保持平衡。

插入新节点

插入新节点的过程与二叉搜索树的插入过程类似。首先，从根节点开始，沿左子节点或右子节点向下搜索，直到找到一个合适的插入位置。如果要插入的键值小于当前节点的键值，则沿左子节点向下搜索；如果要插入的键值大于当前节点的键值，则沿右子节点向下搜索。

找到合适的插入位置后，将新节点插入到该位置。如果插入的新节点导致了树的不平衡，则需要调整树的结构以保持平衡。

调整树的结构

调整树的结构以保持平衡的方法称为旋转。旋转有四种类型：左旋、右旋、左双旋和右双旋。

左旋：如果一个节点的左子树比右子树高2，则需要进行左旋。左旋操作将该节点的左子节点提升为新的根节点，并将该节点作为新根节点的右子节点。
右旋：如果一个节点的右子树比左子树高2，则需要进行右旋。右旋操作将该节点的右子节点提升为新的根节点，并将该节点作为新根节点的左子节点。
左双旋 ：如果一个节点的左子树比右子树高2，并且该节点的左子节点的右子树比左子树高1，则需要进行左双旋。左双旋操作先对该节点的左子节点进行右旋，然后对该节点进行左旋。
右双旋 ：如果一个节点的右子树比左子树高2，并且该节点的右子节点的左子树比右子树高1，则需要进行右双旋。右双旋操作先对该节点的右子节点进行左旋，然后对该节点进行右旋。