横扫千军破逆序，大杀四方显神威

2023-12-31 15:39:21

理解逆序对的概念与意义

在计算机科学领域，尤其是算法和数据结构部分，逆序对是一个经典概念。简单来说，在一个数列中，如果一对数字的前后位置与大小顺序相反，则它们构成了一个逆序对。例如，在数组 [7, 5, 6, 4] 中，(7, 5)，(7, 6)，(7, 4)，(5, 4) 和 (6, 4) 都是逆序对。

逆序对的数量可以反映出数列的无序程度。因此，在算法设计和优化过程中，计算逆序对的数量是一项重要的任务。本文将介绍一种高效的求解方法：归并排序与动态规划相结合的方式。

动态规划解决逆序对问题

在一些特定情况下，利用动态规划（DP）可以高效地解决问题。虽然对于大规模数组来说，直接使用 DP 可能效率不高，但理解其基本思想有助于深入掌握逆序对的概念。

解决方案描述

采用动态规划的方法需要定义一个状态转移方程。对于第 i 个元素，我们用 dp[i] 表示以该位置为结尾的逆序对数。则有：

如果 nums[j] > nums[i] (j < i)，那么 dp[i] = dp[j] + count
其中，count 是满足条件的 j 的数量

代码实现

def reversePairs(nums):
    n = len(nums)
    if n == 0:
        return 0
    dp = [0 for _ in range(n)]
    res = 0
    
    for i in range(1, n):
        count = 0
        for j in range(i-1, -1, -1):
            if nums[j] > nums[i]:
                count += 1
                dp[i] = dp[j]
        dp[i] += count
        res += dp[i]

    return res

这种方法适用于较小规模的数组，时间复杂度为 O(n^2)。

归并排序法求解逆序对

对于大型数据集，归并排序提供了一种更高效的解决方案。利用其分治策略，可以在合并过程中计算逆序对数量。

解决方案描述

归并排序将数列分成多个子序列，分别处理后再合并。在合并阶段，当从左数组取元素时，如果右数组中还有元素未被使用，则说明这些元素与当前左数组元素构成逆序对。

代码实现

def mergeSort(arr, temp_arr, left, right):
    inv_count = 0
    
    if left < right:
        mid = (left + right) // 2
        
        inv_count += mergeSort(arr, temp_arr, left, mid)
        inv_count += mergeSort(arr, temp_arr, mid + 1, right)

        i = j = k = left
        while i <= mid and j <= right:
            if arr[i] <= arr[j]:
                temp_arr[k] = arr[i]
                i += 1
            else:
                temp_arr[k] = arr[j]
                inv_count += (mid - i + 1) # 计算逆序对数量
                j += 1
            k += 1

        while i <= mid:
            temp_arr[k] = arr[i]
            i += 1
            k += 1
        
        while j <= right:
            temp_arr[k] = arr[j]
            j += 1
            k += 1

        for loop_var in range(left, right + 1):
            arr[loop_var] = temp_arr[loop_var]

    return inv_count

def getInvCount(arr, n):
    temp_arr = [0]*n
    return mergeSort(arr, temp_arr, 0, n - 1)