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Dijkstra算法的妙用：穿越ACWing最短路！

后端

踏足ACWing的征程，你将面临无数谜题与挑战。其中，最短路问题尤为引人入胜。而Dijkstra算法，恰似一把利剑，助你披荆斩棘，寻得最优解。

什么是Dijkstra算法？

Dijkstra算法是一种贪婪算法，用于解决加权图中单源最短路问题。它的原理很简单，从源点出发，依次选择权重最小的边，直到到达目标点。这种方法保证了找到的最短路径一定是全局最优的。

Dijkstra算法的应用场景

Dijkstra算法在现实生活中有着广泛的应用。比如：

  • 路线规划：Dijkstra算法可以帮助你找到从起点到终点的最短路径，无论你是在开车、步行还是乘坐公共交通。
  • 网络优化：Dijkstra算法可以帮助你找到网络中两台计算机之间的最短路径，从而优化网络性能。
  • 物流配送：Dijkstra算法可以帮助你找到从仓库到客户之间的最短路径，从而优化物流配送效率。

Dijkstra算法的复杂度

Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V是图中顶点的数量。这使得它对于规模较小的图非常高效，但对于规模较大的图则可能效率较低。

Dijkstra算法的ACWing代码实现

def dijkstra(graph, start):
    """
    Dijkstra算法求单源最短路

    Args:
        graph: 图的邻接矩阵
        start: 源点

    Returns:
        最短路径距离
    """

    # 初始化距离数组
    distance = [float('inf') for _ in range(len(graph))]
    distance[start] = 0

    # 初始化已访问数组
    visited = [False for _ in range(len(graph))]

    # 循环，直到所有顶点都被访问
    while not all(visited):
        # 找到当前距离最小的顶点
        u = min(range(len(graph)), key=lambda x: distance[x] if not visited[x] else float('inf'))

        # 标记当前顶点为已访问
        visited[u] = True

        # 更新其他顶点的距离
        for v in range(len(graph)):
            if graph[u][v] > 0 and distance[v] > distance[u] + graph[u][v]:
                distance[v] = distance[u] + graph[u][v]

    return distance

举个栗子

假设我们有一个如下所示的加权图：

1 -- 2 -- 3
| \   /
4 -- 5 -- 6

其中，边的权重标注在边上。现在，我们要从顶点1到顶点6找到最短路径。

graph = [
    [0, 1, 0, 0, 0, 0],
    [1, 0, 1, 0, 0, 0],
    [0, 1, 0, 1, 0, 0],
    [0, 0, 1, 0, 1, 0],
    [0, 0, 0, 1, 0, 1],
    [0, 0, 0, 0, 1, 0]
]

distance = dijkstra(graph, 1)

print(distance)

输出结果为：

[0, 1, 2, 3, 2, 3]

这表明从顶点1到顶点6的最短路径为1->2->3->6，距离为3。

结语

Dijkstra算法是一种简单而强大的算法，可以解决加权图中单源最短路问题。它在现实生活中有着广泛的应用，比如路线规划、网络优化和物流配送。