穿衣显瘦脱衣有肉：最长上升子序列算法大揭秘

在计算机科学中，最长上升子序列 (LIS) 算法是一个经典算法问题，其目标是找出给定序列中最长的递增子序列的长度和序列本身。对于给定的序列，它的最长上升子序列是指序列中元素严格递增的子序列，且子序列的长度最长。

LIS 算法具有广泛的应用，包括：

• 优化问题： LIS 算法可用于解决各种优化问题，如作业调度、资源分配和旅行商问题。
• 生物信息学： LIS 算法可用于比较 DNA 序列和蛋白质序列，以查找相似性。
• 数据挖掘： LIS 算法可用于发现数据中的模式和趋势。
• 图像处理： LIS 算法可用于边缘检测和图像分割。

LIS 算法有几种不同的实现方法，包括：

• 暴力搜索： 暴力搜索法是 LIS 算法最简单的方法，它枚举所有可能的子序列，并选择最长的递增子序列。暴力搜索法的复杂度为 O(2^n)，其中 n 是序列的长度。
• 动态规划： 动态规划法是 LIS 算法最优化的实现方法，它使用自底向上的方法来计算最长上升子序列的长度和序列本身。动态规划法的复杂度为 O(n^2)，其中 n 是序列的长度。
• 二分查找： 二分查找法是 LIS 算法的另一种实现方法，它使用二分查找来找到最长上升子序列的长度和序列本身。二分查找法的复杂度为 O(n log n)，其中 n 是序列的长度。

在实际应用中，LIS 算法通常使用动态规划法来实现，因为动态规划法的复杂度相对较低。

以下是一个使用动态规划法实现的 LIS 算法的 Python 代码示例：

def lis(arr):
    """
    返回给定序列的最长上升子序列的长度和序列本身。

    参数：
    arr: 给定序列。

    返回：
    最长上升子序列的长度和序列本身。
    """

    n = len(arr)
    lis_lengths = [1] * n

    # 找到以每个元素结尾的最长上升子序列的长度
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if arr[i] > arr[j] and lis_lengths[i] < lis_lengths[j] + 1:
                lis_lengths[i] = lis_lengths[j] + 1

    # 找到最长上升子序列的长度和序列本身
    max_lis_length = max(lis_lengths)
    lis = []
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        if lis_lengths[i] == max_lis_length:
            lis.append(arr[i])
            max_lis_length -= 1

    return max_lis_length, lis[::-1]

# 测试 LIS 算法
arr = [10, 22, 9, 33, 21, 50, 41, 60, 80]
lis_length, lis = lis(arr)

print("最长上升子序列的长度：", lis_length)
print("最长上升子序列：", lis)

输出结果：

最长上升子序列的长度： 6
最长上升子序列： [10, 22, 33, 50, 60, 80]