打家劫舍 2：环形房屋的巧妙盗窃

打家劫舍 2——巧妙避开联动警报

引言

想象一下你是一个身经百战的窃贼，准备在环形街道上大显身手。每座房子都存放着不同金额的现金，但这些房子都连接着精密的防盗系统。一旦你触发了其中一间房子的警报，整条街的警报都会响起，你的盗窃计划将功亏一篑。现在，你的目标是找到一种方法，最大化你的战利品，同时避免触发任何警报。

环形劫掠的数学奥秘

打家劫舍 2 的本质是一个动态规划问题。假设你有 n 座房子，你需要确定一种方法来掠夺最多现金，同时避免触发任何警报。要做到这一点，你需要根据前面的决策来做出当前决策。

让我们考虑两种情况：

• 选择抢劫第一间房子： 如果你抢劫第一间房子，你不能抢劫相邻的第二间房子，因为它们连接着警报系统。因此，你将从第 3 间房子继续抢劫，并获得前 n-1 间房子的最大现金。
• 选择不抢劫第一间房子： 如果你不抢劫第一间房子，你可以抢劫第二间房子，并从第 3 间房子继续抢劫。在这种情况下，你将获得前 n-2 间房子的最大现金，加上第二间房子的现金。

通过比较这两种情况，你可以决定哪种方法能让你获得更多现金。

算法设计

基于上述观察，我们可以设计一个动态规划算法，计算从每座房子开始时能获得的最大现金：

1. 初始化： 设置 dp[n+2] 数组，其中 dp[i] 表示从第 i 间房子开始时能获得的最大现金。
2. 循环： 对于 i 从 2 循环到 n+1，执行以下步骤：
   • 抢劫当前房子： dp[i] = nums[i] + dp[i+2]，这表示抢劫当前房子并跳过相邻房子。
   • 不抢劫当前房子： dp[i] = dp[i+1]，这表示不抢劫当前房子，而从下一间房子继续抢劫。
3. 结果： 返回 dp[2] 或 dp[3]，具体取决于是抢劫还是不抢劫第一间房子。

代码实现

使用 Python 的代码实现如下：

def rob(nums):
    n = len(nums)
    if n == 0:
        return 0

    dp = [0] * (n + 2)

    # 循环从第 2 间房子开始，因为第 1 间房子与最后 1 间房子相连
    for i in range(2, n + 1):
        dp[i] = max(nums[i - 1] + dp[i + 1], dp[i + 1])

    # 返回从第 2 间或第 3 间房子开始时能获得的最大现金
    return max(dp[2], dp[3])

结论

通过巧妙地利用动态规划，我们可以确定如何最大化打家劫舍 2 中的战利品，同时避免触发任何警报。这个策略确保我们在做出当前决策时考虑了所有可能的未来决策，从而引导我们走向最优解。无论你是想在游戏中大显身手，还是想解决现实世界中的复杂问题，打家劫舍 2 的教训都是宝贵的：通过明智的决策和对动态规划的理解，我们可以实现看似不可能的目标。