310. 最小高度树：算法优化与树形 DP 巧妙运用

后端

2024-02-18 04:30:37

算法优化与树形 DP 巧妙运用

1. 问题

给定一个整数数组 nums，其中每个元素都是正整数，且不重复。现在要从 nums 数组中选择一些元素，组成一个非空数组，且该数组元素之和等于目标值 target。

求所有可能的选择方案中，元素数量最少的方案。

2. 算法思路

我们首先将数组 nums 中的元素按降序排序，这样可以使我们更容易选择元素来组成目标值 target。

然后，我们使用树形 DP 动态规划方法来求解。我们将问题分解成若干个子问题，每个子问题都是求一个子数组中元素之和等于目标值 target 的最少元素数量。

我们使用一个二维数组 dp 来存储子问题的解。dp[i][j] 表示前 i 个元素中元素之和等于 j 的最少元素数量。

我们从 dp[0][0] = 0 开始，然后逐个计算 dp[i][j]。对于每个 i，我们从 j = 1 开始，逐个计算 dp[i][j]。对于每个 j，我们首先检查 dp[i - 1][j] 是否已经计算过。如果已经计算过，那么 dp[i][j] 等于 dp[i - 1][j]。否则，我们计算 dp[i][j] 的值。

计算 dp[i][j] 的值时，我们有两种选择：

将第 i 个元素加入到子数组中。如果第 i 个元素加上 dp[i - 1][j - nums[i]] 的值等于 j，那么 dp[i][j] 等于 dp[i - 1][j - nums[i]] + 1。
不将第 i 个元素加入到子数组中。如果 dp[i - 1][j] 已经计算过，那么 dp[i][j] 等于 dp[i - 1][j]。

我们逐个计算 dp 数组，直到计算完 dp[n][target]。dp[n][target] 的值就是题目要求的答案。

3. 步骤示例

将数组 nums 中的元素按降序排序。
创建一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示前 i 个元素中元素之和等于 j 的最少元素数量。
从 dp[0][0] = 0 开始，逐个计算 dp[i][j]。
对于每个 i，从 j = 1 开始，逐个计算 dp[i][j]。
计算 dp[i][j] 的值时，我们有两种选择：
- 将第 i 个元素加入到子数组中。如果第 i 个元素加上 dp[i - 1][j - nums[i]] 的值等于 j，那么 dp[i][j] 等于 dp[i - 1][j - nums[i]] + 1。
- 不将第 i 个元素加入到子数组中。如果 dp[i - 1][j] 已经计算过，那么 dp[i][j] 等于 dp[i - 1][j]。
逐个计算 dp 数组，直到计算完 dp[n][target]。dp[n][target] 的值就是题目要求的答案。

4. 示例代码

def minimum_subset_sum(nums, target):
  """
  Finds the minimum number of elements in a subset of nums that sum to target.

  Args:
    nums: A list of positive integers.
    target: The target sum.

  Returns:
    The minimum number of elements in a subset of nums that sum to target.
  """

  # Sort the array in descending order.
  nums.sort(reverse=True)

  # Create a 2D array to store the subproblems.
  dp = [[0 for _ in range(target + 1)] for _ in range(len(nums) + 1)]

  # Initialize the first row of the dp array.
  for i in range(1, target + 1):
    dp[0][i] = float('inf')

  # Fill in the rest of the dp array.
  for i in range(1, len(nums) + 1):
    for j in range(1, target + 1):
      # If the current element is greater than the current target,
      # then we can't include it in the subset.
      if nums[i - 1] > j:
        dp[i][j] = dp[i - 1][j]
      else:
        # We can either include the current element or not.
        dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - nums[i - 1]] + 1)

  # Return the minimum number of elements in a subset of nums that sum to target.
  return dp[len(nums)][target]