组合优化中的旅行商问题：用数学规划寻找最优路径

2023-10-06 06:59:35

组合优化与旅行商问题

组合优化是运筹学的一个分支，其目标是解决有限个离散变量的优化问题。旅行商问题是组合优化中的一个经典问题，其目标是在有限个点之间找到最短的路径，使每两点都被访问一次。

旅行商问题最早是由爱尔兰数学家W.R.哈密尔顿于1859年提出的。哈密尔顿当时正在研究四色定理，他发现如果能够证明任意一个多面体的边都可以用一条路径覆盖，那么四色定理就成立了。哈密尔顿将这个问题称为“旅行商问题”，因为这是一个旅行商在访问n个城市后回到出发点的最短路径问题。

旅行商问题是一个NP完全问题，这意味着它不能在多项式时间内求解。因此，在实际应用中，通常使用启发式算法或近似算法来求解旅行商问题。

旅行商问题的数学规划模型

旅行商问题的数学规划模型可以表示为：

min z = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} c_{ij} x_{ij}

s.t. ∑_{j=1}^{n} x_{ij} = 1, ∀i = 1, ..., n

∑_{i=1}^{n} x_{ij} = 1, ∀j = 1, ..., n

x_{ij} ∈ {0, 1}, ∀i, j = 1, ..., n

其中，

第一个约束条件表示每个城市都必须被访问一次；第二个约束条件表示旅行商必须从一个城市出发并回到同一个城市；第三个约束条件表示决策变量只能取0或1。

求解旅行商问题的算法有很多，常用的算法包括：

贪婪算法：贪婪算法是一种简单的启发式算法，其基本思想是每次选择当前最优的决策，直到找到最优解。贪婪算法的优点是计算简单，但缺点是不能保证找到最优解。
分支定界法：分支定界法是一种精确算法，其基本思想是通过枚举所有可能的解来找到最优解。分支定界法的优点是能够找到最优解，但缺点是计算复杂度高。
动态规划：动态规划是一种精确算法，其基本思想是将问题分解成若干个子问题，然后逐个求解子问题，最后将子问题的解组合成总问题的解。动态规划的优点是计算复杂度较低，但缺点是需要存储大量的中间结果。
近似算法：近似算法是一种启发式算法，其基本思想是找到一个比最优解稍差的解，但计算复杂度较低。近似算法的优点是计算简单，但缺点是不能保证找到最优解。
启发式算法：启发式算法是一种启发式算法，其基本思想是根据经验或直觉来找到一个较好的解。启发式算法的优点是计算简单，但缺点是不能保证找到最优解。
元启发式算法：元启发式算法是一种启发式算法，其基本思想是将多个启发式算法组合起来，以找到一个更好的解。元启发式算法的优点是能够找到较好的解，但缺点是计算复杂度较高。