运用算法揭秘有效三角形的奥秘

2023-03-28 02:38:33

三角形计数的世界：探索算法的奥秘

三角形计数：一个古老而迷人的数学问题

三角形计数，也称为帕斯卡三角形计数，是一个让人着迷的数学问题，它涉及计算给定数量的点可以形成多少个有效的三角形。例如，给定 3 个点，可以形成 1 个三角形；给定 4 个点，可以形成 3 个三角形；给定 5 个点，可以形成 6 个三角形，以此类推。

三数之和：三角形计数的基础

三角形计数最基本的形式是三数之和问题。给定三个正整数 a、b、c，它们能组成多少个有效的三角形？一个有效的三角形是指其三边长满足三角形不等式，即 a + b > c、a + c > b、b + c > a。

为了解决这个问题，我们可以使用一种简单的暴力算法。首先，枚举所有可能的 a、b、c 组合，然后检查它们是否满足三角形不等式。如果满足，则计数器加 1。最后，输出计数器的值。

代码示例：三数之和的暴力算法

def count_triangles(a, b, c):
  count = 0
  for i in range(len(a)):
    for j in range(len(b)):
      for k in range(len(c)):
        if a[i] + b[j] > c[k] and a[i] + c[k] > b[j] and b[j] + c[k] > a[i]:
          count += 1
  return count

四数之和：三角形计数的进阶版

四数之和问题比三数之和问题更加复杂。给定四个正整数 a、b、c、d，它们能组成多少个有效的四边形？一个有效的四边形是指其四边长满足四边形不等式，即 a + b + c > d、a + b + d > c、a + c + d > b、b + c + d > a。

解决四数之和问题的方法有很多，其中一种是使用动态规划算法。动态规划是一种自底向上的算法，它将问题分解成更小的子问题，然后逐个解决这些子问题，最后将子问题的解组合起来得到最终的解。

代码示例：四数之和的动态规划算法

def count_quadrilaterals(a, b, c, d):
  dp = [[[[-1 for _ in range(d + 1)] for _ in range(c + 1)] for _ in range(b + 1)] for _ in range(a + 1)]
  for i in range(1, a + 1):
    for j in range(1, b + 1):
      for k in range(1, c + 1):
        for l in range(1, d + 1):
          if a[i - 1] + b[j - 1] + c[k - 1] > d[l - 1] and a[i - 1] + b[j - 1] + d[l - 1] > c[k - 1] and a[i - 1] + c[k - 1] + d[l - 1] > b[j - 1] and b[j - 1] + c[k - 1] + d[l - 1] > a[i - 1]:
            dp[i][j][k][l] = dp[i - 1][j][k][l] + dp[i][j - 1][k][l] + dp[i][j][k - 1][l] + dp[i][j][k][l - 1] + 1
          else:
            dp[i][j][k][l] = 0
  return dp[a][b][c][d]