多重背包の单调优化——算法中的闪电侠

人工智能

2024-01-27 12:16:10

单调优化：多重背包问题的终极加速器

各位算法与数据结构的爱好者们，大家好！

我们又回来了，这次深入探讨动态规划的第三篇，专门讨论单调优化在多重背包问题中的强大作用。

什么是单调优化？

单调优化是一种巧妙的技巧，它利用决策的单调性，大幅减少动态规划中的状态空间。简单来说，单调性是指如果一个决策在某个状态下是最佳的，那么在所有更优的状态下，它也一定是最佳的。

单调优化在多重背包问题中的应用

多重背包问题是一个经典的动态规划问题，任务是在容量有限的背包中，从一堆物品中挑选出价值最大的物品。

使用单调优化，我们可以将多重背包问题的朴素解法从 O(n * m) 优化到 O(n * m)，其中 n 是物品数量，m 是背包容量。这是如何实现的？

首先，我们定义状态 dp[i][j]，表示前 i 件物品放入容量为 j 的背包所能获得的最大价值。接着，我们枚举物品，如果第 i 件物品放入背包后价值更大，则更新 dp 值。

然而，朴素的解法存在问题：对于 j >= w[i]，如果第 i 件物品不放入背包，后续决策也不可能让它放入。

单调队列优化

为了进一步提升效率，我们可以使用单调队列优化。单调队列是一种特殊的队列，它始终保持队列中的元素单调递增或递减。

在多重背包问题中，我们可以维护一个单调递减的队列，其中存储的是重量不小于 w[i] 的物品。如此一来，我们只需要考虑容量为 [0, j - w[i]] 的状态，大幅减少了状态转移的次数，将时间复杂度进一步优化到 O(n * m log n)。

代码示例

朴素解法：

for (int i = 1; i <= n; i++) {
  for (int j = 0; j <= m; j++) {
    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
    if (j >= w[i]) {
      dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
    }
  }
}

单调队列优化：

deque<int> q;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
  while (!q.empty() && w[q.back()] >= w[i]) {
    q.pop_back();
  }
  q.push_back(i);
  for (int j = 0; j <= m; j++) {
    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
    if (j >= w[q.front()]) {
      dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - w[q.front()]] + v[q.front()]);
    }
  }
  while (!q.empty() && i - q.front() > w[i]) {
    q.pop_front();
  }
}