背包问题：数据结构入门指南

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2023-09-24 06:50:22

背包问题：数据结构入门指南

引言

背包问题是计算机科学中一个经典问题，在实际生活中也有着广泛的应用，如资源分配、任务调度等。背包问题主要涉及在给定容量的背包中，从一组具有一定价值和重量的物品中选择若干物品放入背包，使背包中物品的总价值最大化。

背包问题的分类

背包问题根据物品的特性，主要分为以下两类：

01背包问题： 每种物品只能放入背包中一次，或者不放入。
完全背包问题： 每种物品可以放入背包中任意多次。

01背包问题求解

01背包问题的求解可以使用动态规划的方法。动态规划的思想是将问题分解成一系列子问题，并依次求解这些子问题，最后得到问题的整体解。

01背包问题动态规划求解步骤：

定义状态：dp[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包所能获得的最大价值。
状态转移方程：对于每个物品i，如果其重量小于或等于背包剩余容量j，则有dp[i][j] = max{dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]}; 否则，dp[i][j] = dp[i-1][j]，其中w[i]和v[i]分别表示物品i的重量和价值。
边界条件：dp[0][j] = 0（容量为0时，背包中没有物品），dp[i][0] = 0（物品为0时，背包中没有物品）。
最终答案：背包所能获得的最大价值为dp[n][C]，其中n为物品总数，C为背包容量。

代码示例：

def knapsack01(weights, values, capacity):
    n = len(weights)
    dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, capacity + 1):
            if weights[i-1] <= j:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weights[i-1]] + values[i-1])
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
    return dp[n][capacity]

完全背包问题求解

完全背包问题的求解也使用动态规划的方法，但其状态转移方程与01背包问题不同。

完全背包问题动态规划求解步骤：

定义状态：dp[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包所能获得的最大价值。
状态转移方程：对于每个物品i，有dp[i][j] = max{dp[i-1][j], dp[i][j-w[i]] + v[i]};
边界条件：dp[0][j] = 0（容量为0时，背包中没有物品），dp[i][0] = 0（物品为0时，背包中没有物品）。
最终答案：背包所能获得的最大价值为dp[n][C]，其中n为物品总数，C为背包容量。

代码示例：

def knapsackComplete(weights, values, capacity):
    n = len(weights)
    dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, capacity + 1):
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-weights[i-1]] + values[i-1])
    return dp[n][capacity]