用动态规划和回溯法解决 LeetCode 491: 递增子序列

2023-09-22 09:42:33

LeetCode 491: 递增子序列

这个时代，动态规划 DP 算法绝对是数据结构和算法面试中不得不提的重头戏。那么，什么是动态规划呢？简单来说，它是一种通过将一个复杂的问题分解成若干个小问题的递归方法，同时保存子问题的解决方案，避免重复计算。其中，最常见的动态规划问题类型之一就是递增子序列问题，比如今天 LeetCode 上的这道题目：491. 递增子序列。

在讲解具体解法之前，我们先来明确一下什么是递增子序列。递增子序列是指从给定序列中选择一个或多个元素形成的新序列，且新序列中的元素在原始序列中的顺序与原始序列中的顺序相同。例如，序列 [1, 3, 5, 6] 的递增子序列包括 [1], [1, 3], [1, 3, 5], [1, 3, 5, 6], [3], [3, 5], [3, 5, 6], [5], [5, 6], [6]。

言归正传，本题的目的是找出给定数组中所有不同的递增子序列。我们可以将问题分解为子问题：对于数组中的每个元素，我们有两个选择：将它加入到当前递增子序列中，或者不加入。如果我们选择将它加入，那么我们递归地找出以这个元素结尾的所有递增子序列；如果不加入，那么我们递归地找出不包含这个元素的所有递增子序列。

思路明确后，我们可以使用回溯法来求解。回溯法是一种深度优先搜索算法，它通过系统地探索所有可能的解，找到满足约束条件的解。回溯法的核心在于：在每一次递归调用中，我们尝试做出一个选择，然后递归地探索这个选择所导致的所有可能性。如果这个选择导致了一个死胡同，我们就回溯到上一次递归调用，尝试另一个选择。

具体到本题，我们可以使用以下步骤实现回溯法：

初始化一个空列表 res 来存储结果。
对于数组中的每个元素 nums[i]:
- 如果 nums[i] 比 res 中最后一个元素大，那么我们将它加入 res，并递归地找出以 nums[i] 结尾的所有递增子序列。
- 如果 nums[i] 小于或等于 res 中最后一个元素，那么我们跳过它，继续递归地找出不包含 nums[i] 的所有递增子序列。
重复步骤 2，直到遍历完所有元素。

下面是 Python 代码实现：

def findSubsequences(nums):
    res = []
    backtrack(nums, [], res)
    return res

def backtrack(nums, path, res):
    if len(path) >= 2:
        res.append(path[:])

    for i in range(len(nums)):
        if not path or nums[i] >= path[-1]:
            path.append(nums[i])
            backtrack(nums[i+1:], path, res)
            path.pop()