动态规划详解背包问题之二维数组转一维背后的秘密

后端

2023-02-21 17:12:59

动态规划求解背包问题：二维数组巧变一维，节省空间

什么是背包问题？

背包问题是计算机科学中一个经典的优化问题，它的场景如下：给定一堆物品，每件物品都有自己的重量和价值，还有一个背包容量。目标是选择一些物品放入背包，使得背包内的物品总价值最大，但不能超过背包的容量。

动态规划的威力

动态规划是一种解决背包问题的有效方法。它的原理是把问题分解成一系列子问题，然后逐步求解这些子问题，最终得到最优解。

二维数组存储子问题

在动态规划中，通常使用二维数组来存储子问题的最优解。这个二维数组的列表示背包容量，行表示物品的序号。例如，dp[i][j] 表示在考虑前i个物品，背包容量为j时的最优解。

二维数组转一维

然而，在某些情况下，我们可以将二维数组优化为一维数组，从而节省空间。这种优化被称为“二维数组转一维”。

一维优化背后的秘密

二维数组转一维的原理在于动态规划的递推性质。在动态规划中，子问题的最优解是基于其父问题的最优解计算得到的。因此，在计算当前子问题的最优解时，只需要用到其父问题的最优解。

举个例子，当计算dp[i][j]时，只需要用到dp[i - 1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]这两个父问题的值。其中，weight[i]是第i个物品的重量。

因此，我们可以用一维数组dp来存储子问题的最优解，其中dp[j]表示在考虑前j个物品，背包容量为j时的最优解。

示例代码

def backpack(items, capacity):
  """
  求解背包问题

  参数：
    items: 物品列表，每个物品包含重量和价值
    capacity: 背包容量

  返回：
    背包的最大价值
  """

  # 创建一维数组dp，存储子问题的最优解
  dp = [0] * (capacity + 1)

  # 遍历物品
  for item in items:
    # 从后往前遍历背包容量
    for i in range(capacity, item.weight - 1, -1):
      # 如果当前物品可以放入背包
      if i >= item.weight:
        # 更新dp[i]的值为max(dp[i], dp[i - item.weight] + item.value)
        dp[i] = max(dp[i], dp[i - item.weight] + item.value)

  # 返回背包的最大价值
  return dp[capacity]