追溯贝塞尔曲线轨迹——揭秘计算机图形学的数学奥秘

揭秘贝塞尔曲线的奥秘：公式推导

贝塞尔公式是定义贝塞尔曲线的数学方程。它决定了曲线的形状和运动轨迹。为了更好地理解贝塞尔曲线，让我们从其公式推导开始。

贝塞尔曲线由一系列控制点定义，这些控制点决定了曲线的形状和走向。对于一个 n 次贝塞尔曲线，需要 n+1 个控制点。这些控制点通常用向量表示，记为 P0, P1, ..., Pn。

贝塞尔曲线公式如下：

B(t) = Σ(nCi) * (1-t)^(n-i) * t^i * Pi

其中，

• n 是曲线的次数，
• i 是从 0 到 n 的整数，
• Ci 是二项式系数，
• Pi 是第 i 个控制点，
• t 是从 0 到 1 的参数，它决定了曲线上某一点的位置。

伯恩斯坦基多项式：贝塞尔曲线的基石

贝塞尔曲线公式中包含伯恩斯坦基多项式，它是贝塞尔曲线的基石。伯恩斯坦基多项式是一组特殊的函数，定义如下：

B_i^n(t) = (nCi) * (1-t)^(n-i) * t^i

其中，

• n 是基多项式的次数，
• i 是从 0 到 n 的整数，
• Ci 是二项式系数，
• t 是从 0 到 1 的参数。

伯恩斯坦基多项式具有以下性质：

• 非负性：对于任何 t∈[0, 1]，B_i^n(t) ≥ 0。
• 分割和单位和：对于任何 t∈[0, 1]，ΣB_i^n(t) = 1。
• 对称性：对于任何 t∈[0, 1]，B_i^n(t) = B_(n-i)^n(1-t)。

贝塞尔公式的推导：揭示曲线奥秘

现在，让我们一步一步推导出贝塞尔公式。

首先，将伯恩斯坦基多项式写成矩阵形式：

[B(t)] = [B_0^n(t), B_1^n(t), ..., B_n^n(t)]

然后，将控制点向量 P 写成列向量：

[P] = [[P_0], [P_1], ..., [P_n]]

最后，将 B(t) 和 P 相乘，得到贝塞尔曲线公式：

B(t) = [B_0^n(t), B_1^n(t), ..., B_n^n(t)] * [[P_0], [P_1], ..., [P_n]]

小球跟随曲线轨迹：贝塞尔公式的生动演绎

为了让贝塞尔公式变得更加生动有趣，让我们创建一个简单的示例——小球跟随曲线轨迹运动。

首先，我们需要定义贝塞尔曲线。我们将使用三次贝塞尔曲线，因此我们需要四个控制点。我们可以使用以下控制点：

P0 = (0, 0)
P1 = (100, 100)
P2 = (200, 200)
P3 = (300, 0)

接下来，我们需要创建一个函数来计算贝塞尔曲线上的点。我们可以使用贝塞尔公式来实现这一点。

function BezierCurve(t) {
  let B0 = (1-t)**3;
  let B1 = 3 * t * (1-t)**2;
  let B2 = 3 * t**2 * (1-t);
  let B3 = t**3;

  let x = B0 * P0[0] + B1 * P1[0] + B2 * P2[0] + B3 * P3[0];
  let y = B0 * P0[1] + B1 * P1[1] + B2 * P2[1] + B3 * P3[1];

  return [x, y];
}

最后，我们需要创建一个函数来更新小球的位置。我们可以使用贝塞尔曲线函数来实现这一点。

function UpdateBallPosition(t) {
  let position = BezierCurve(t);
  ball.x = position[0];
  ball.y = position[1];
}

现在，我们就可以在屏幕上绘制出贝塞尔曲线，并让小球沿着曲线运动了。

结语

贝塞尔曲线在计算机图形学中有着广泛的应用，包括动画、运动轨迹设计等。通过本文的讲解，您已经掌握了贝塞尔公式的推导过程，并了解了如何使用贝塞尔曲线来创建复杂曲