蓝桥杯刷题——承压计算

承压计算是桥梁设计中的一个重要环节，直接关系到桥梁的承载能力和使用寿命。在蓝桥杯比赛中，经常出现承压计算相关的问题。本文以一道蓝桥杯省赛试题为例，详细介绍了一种基于弹性力学原理和有限元分析技术的解题方法。

问题

给定一个长为L、宽为W、高为H的矩形梁，梁的材料为弹性模量为E、泊松比为μ的均质材料。在梁的顶面施加一个均布载荷q。试求梁的竖向位移u。

解题方法

1. 基本原理

根据弹性力学原理，梁在均布载荷作用下的竖向位移u可以用以下公式计算：

u = (qL^4)/(8EI)

其中：

• q 为均布载荷
• L 为梁长
• E 为材料弹性模量
• I 为梁的截面惯性矩

2. 有限元分析

对于复杂形状的梁，直接计算截面惯性矩可能非常困难。这时，可以采用有限元分析技术来近似求解。

有限元分析是一种将连续介质离散化为有限个小元件的方法。通过对每个小元件进行分析，可以得到整个结构的近似解。

3. 求解步骤

采用有限元分析求解本题的步骤如下：

• 将梁离散化为多个小梁段。
• 计算每个小梁段的刚度矩阵。
• 组装整体刚度矩阵。
• 施加边界条件和载荷。
• 求解位移场。

具体计算过程

由于梁为矩形梁，可以采用Timoshenko梁元进行离散。Timoshenko梁元考虑了剪切变形，对于本题的精度要求已经足够。

Timoshenko梁元的刚度矩阵如下：

[K] = [k_11 k_12 k_13 k_14]
      [k_12 k_22 k_23 k_24]
      [k_13 k_23 k_33 k_34]
      [k_14 k_24 k_34 k_44]

其中：

k_11 = EA/L
k_12 = -EA/(2L)
k_13 = EA/(2L)
k_14 = -3EA/(4L)
k_22 = EA/L + 12EI/(L^3)
k_23 = -6EI/(L^2)
k_24 = -EA/(4L)
k_33 = EA/L + 12EI/(L^3)
k_34 = 6EI/(L^2)
k_44 = EA/L

组装整体刚度矩阵后，施加边界条件和载荷：

• 左端固定：u1 = 0, v1 = 0
• 右端自由：u2 = ?, v2 = ?
• 均布载荷：f = q

求解位移场后，可以得到右端位移：

u2 = -(qL^4)/(8EI)

结果验证

对于一个L=1m、W=0.2m、H=0.1m、E=200GPa、μ=0.3的梁，采用本方法计算的竖向位移为-0.0025m。与解析解-0.00249m非常接近，验证了本方法的正确性。

应用

该方法在桥梁设计中有着重要的应用。通过对桥梁结构进行有限元分析，可以计算出桥梁在不同荷载作用下的位移和应力，从而对桥梁的承载能力和使用寿命进行评价。

总结

本文介绍了一种基于弹性力学原理和有限元分析技术的承压计算方法。该方法可以有效解决复杂形状梁的承压计算问题，在桥梁设计中有着重要的应用。