化繁为简：LeetCode 第 70 题爬楼梯问题的优雅解决方案

前端

2023-12-06 05:39:40

在编程世界中，解决算法问题不仅需要技术实力，更需要敏捷的思维和创新视角。LeetCode 第 70 题的爬楼梯问题就是一个绝佳例证，它要求我们找到登上楼梯顶端的不同方式。

背景

假设你正在爬楼梯，每次可以向上迈出 1 或 2 个台阶。为了到达楼梯顶端，你需要爬 n 个台阶。你的目标是找出到达顶端的不同方式。

动态规划

解决此问题的一种方法是使用动态规划，这是一种解决复杂问题的一种技术，通过分解问题并存储子问题的解决方案来优化计算过程。

我们可以定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示到达第 i 个台阶的不同方式。对于每个台阶，我们可以从前两个台阶到达，即 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]。

例如，当 n = 4 时：

dp[1] = 1（从第 0 个台阶向上迈出 1 个台阶）
dp[2] = 2（从第 0 个台阶向上迈出 1 个台阶，再迈出 1 个台阶；或从第 0 个台阶向上迈出 2 个台阶）
dp[3] = 3（从第 0 个台阶向上迈出 1 个台阶，再迈出 2 个台阶；从第 0 个台阶向上迈出 2 个台阶，再迈出 1 个台阶；或从第 1 个台阶向上迈出 1 个台阶，再迈出 2 个台阶）
dp[4] = 5（从第 0 个台阶向上迈出 1 个台阶，再迈出 3 个台阶；从第 0 个台阶向上迈出 2 个台阶，再迈出 2 个台阶；从第 0 个台阶向上迈出 3 个台阶，再迈出 1 个台阶；从第 1 个台阶向上迈出 1 个台阶，再迈出 3 个台阶；或从第 2 个台阶向上迈出 1 个台阶，再迈出 2 个台阶）

通过这种方式，我们可以递推计算到达每个台阶的不同方式，从而得出最终答案。

递归

另一种解决方法是使用递归。我们可以定义一个函数 f(n)，其中 n 表示剩余需要爬的台阶数。如果 n 为 0，则表示已经到达了楼梯顶端，返回 1（一种方法）。否则，可以从当前台阶向上迈出 1 个台阶或 2 个台阶，因此返回 f(n - 1) + f(n - 2)。

int f(int n) {
  if (n == 0) {
    return 1;
  } else {
    return f(n - 1) + f(n - 2);
  }
}

这种递归方法简洁明了，但效率较低，因为它存在大量的重叠子问题。为了提高效率，我们可以使用备忘录来存储已计算的子问题的解决方案，从而避免重复计算。

斐波那契数列

值得注意的是，这个问题与斐波那契数列密切相关。斐波那契数列是以 0 和 1 开始，之后每个数字是前两个数字的和。例如：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...。

事实上，到达第 n 个台阶的不同方式与斐波那契数列的第 (n + 1) 项相同。这是因为每次爬楼梯时，你都可以选择迈出 1 个台阶或 2 个台阶。因此，到达第 n 个台阶的不同方式等于到达第 (n - 1) 个台阶的不同方式加上到达第 (n - 2) 个台阶的不同方式，这与斐波那契数列的定义相一致。