踏入动态规划的殿堂：从本质到实战应用

什么是动态规划？

动态规划（Dynamic Programming）是解决一系列问题的有效算法，其精髓在于化繁为简，将复杂问题拆解为更小的重叠子问题。它起源于递归算法，但通过引入备忘录，避免了重复计算，大幅提升了效率。

动态规划的优势

• 效率提升： 动态规划避免了对同一子问题的重复计算，大大提高了算法效率。
• 清晰简洁： 相比递归算法，动态规划的代码往往更清晰易懂，逻辑更为直观。
• 通用性强： 动态规划适用于解决具有重叠子问题的各种问题，包括最长公共子序列、背包问题和最短路径问题。

自顶向下与自底向上

动态规划有两种主要的求解策略：自顶向下和自底向上。

• 自顶向下（递归）： 从问题的高层开始，逐层细化，直到达到基本子问题。这种方法直观，但计算量较大。
• 自底向上（迭代）： 从基本子问题出发，逐层递推，最终解决原始问题。这种方法更有效率，但代码编写难度稍高。

备忘录的妙用

备忘录是一种数据结构，用来存储子问题的解。通过查询备忘录，动态规划算法可以避免重复计算，大大提升效率。

实战应用

动态规划在实际应用中发挥着重要作用。以下是一些经典的动态规划问题：

• 最长公共子序列：找出两个序列中最长的公共子序列。
• 背包问题：在限定的容量下，从一组物品中挑选出总价值最大的组合。
• 最短路径问题：找出图中两个点之间的最短路径。

案例分析：最长公共子序列

假设我们有两个序列 A 和 B，分别为“ABCD”和“CBACD”。我们要找出这两个序列的最长公共子序列。

自顶向下解法：

1. 定义一个递归函数 lcs(i, j)，其中 i 和 j 表示序列 A 和 B 中当前考虑的元素索引。
2. 如果 i 或 j 超出序列长度，返回 0。
3. 如果 A[i] == B[j]，返回 lcs(i+1, j+1) + 1。
4. 否则，返回 max(lcs(i+1, j), lcs(i, j+1))。

自底向上解法：

1. 创建一个二维表 dp，其中 dp[i][j] 表示序列 A 的前 i 个元素和序列 B 的前 j 个元素的最长公共子序列长度。
2. 初始化 dp 表的第一行和第一列为 0。
3. 对于 i 从 1 到序列 A 的长度，对于 j 从 1 到序列 B 的长度，计算 dp[i][j]：
   • 如果 A[i] == B[j]，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。
   • 否则，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。
4. 返回 dp[m][n]，其中 m 和 n 分别是序列 A 和 B 的长度。

结语

动态规划是一门强大的算法技术，它能够高效解决一系列重叠子问题的复杂问题。通过自顶向下和自底向上的策略，以及备忘录的妙用，动态规划算法在实践中发挥着至关重要的作用。