LeetCode 二叉搜索树系列：探索二叉搜索树的最近公共祖先

1. 何谓二叉搜索树的最近公共祖先（LCA）？

在二叉搜索树中，对于任意两个节点A和B，若存在一个节点P，使得A、B均是P的左子树或右子树，则称P为A和B的最近公共祖先（LCA）。举例来说，以下二叉搜索树中：

    10
   /  \
  5    15
 / \    /  \
3   7  12   20

10是5和15的LCA，5是3和7的LCA，15是12和20的LCA。

2. LCA算法原理及实现

2.1 递归算法

查找二叉搜索树的LCA可以采用递归算法。具体步骤如下：

1. 若给定二叉搜索树为空，则没有LCA，返回空值。
2. 若给定二叉搜索树仅有一个节点，则该节点即是LCA，返回该节点。
3. 若给定二叉搜索树的根节点大于两个节点的值，则LCA必定在左子树中，递归地在左子树中查找LCA。
4. 若给定二叉搜索树的根节点小于两个节点的值，则LCA必定在右子树中，递归地在右子树中查找LCA。
5. 若给定二叉搜索树的根节点介于两个节点的值之间，则根节点即是LCA，返回根节点。

以以下二叉搜索树为例：

    10
   /  \
  5    15
 / \    /  \
3   7  12   20

查找节点5和15的LCA。首先，将根节点10与5和15比较，发现10大于5和15，因此LCA一定在左子树中。继续将左子树的根节点5与5和15比较，发现5等于5，因此5即为5和15的LCA。

2.2 非递归算法

查找二叉搜索树的LCA也可以采用非递归算法。具体步骤如下：

1. 设置两个指针，指向给定的两个节点。
2. 若两个指针指向同一个节点，则该节点即是LCA，返回该节点。
3. 若两个指针指向不同节点，则将两个指针同时向上移动一层，即移动到它们的父节点。
4. 重复步骤2和步骤3，直到两个指针指向同一个节点，该节点即是LCA，返回该节点。

继续以以下二叉搜索树为例：

    10
   /  \
  5    15
 / \    /  \
3   7  12   20

查找节点5和15的LCA。首先，将两个指针指向节点5和15。由于两个指针指向不同节点，将两个指针同时向上移动一层，指向它们的父节点10。由于两个指针现在指向同一个节点，因此10即为5和15的LCA。

3. 时间复杂度分析

递归算法和非递归算法的时间复杂度均为O(h)，其中h为二叉搜索树的高度。这是因为在最坏的情况下，需要从根节点遍历到最深的叶子节点才能找到LCA。

4. 结语

通过本文，我们深入探讨了二叉搜索树的最近公共祖先（LCA）问题。我们不仅学习了LCA的定义和算法原理，还掌握了递归和非递归算法的实现方式。更重要的是，我们学会了分析算法的时间复杂度，以便评估算法的效率。希望您能学有所获，并在未来的算法学习和实践中游刃有余。