数学之美：蓝桥杯赛题探秘：200元换零钞问题

导语：

数学的魅力无穷，它不仅是一门严谨的学科，更是一门充满艺术和创造力的学科。蓝桥杯大赛是一项享誉国内外的计算机编程大赛，每年都吸引着众多编程爱好者和专业人士参赛。在今年的蓝桥杯大赛个人赛决赛B组中，就有一道精彩的数学题，引起了广泛的关注。这道题看似简单，但想要解开却需要用到巧妙的数学思维和算法。

题目：

x星球的钞票面额只有：100元，5元，2元，1元，共4种。小明去x星球旅游，他手里只有2张100元的x星币，太不方便，恰好路过x星银行就去换零钱。小明有点强迫症，他坚持要求200元换出的零钞中，100元的张数是5元的2倍，5元的张数是2元的3倍，2元的张数是1元的5倍。请你帮小明算一算，有多少种换法。

分析：

这道题的难点在于，小明对换出的零钞张数有严格的要求，即100元的张数是5元的2倍，5元的张数是2元的3倍，2元的张数是1元的5倍。这就意味着，我们要找到一种方法，让100元、5元、2元和1元的张数都满足小明的要求。

解题思路：

为了解决这个问题，我们可以采用一种叫做“反向推导”的思路。首先，我们知道小明总共需要换出200元，那么我们可以先假设100元的张数为x，5元的张数为y，2元的张数为z，1元的张数为w。然后，根据小明的要求，我们可以列出以下方程组：

x = 2y
y = 3z
z = 5w
x + 5y + 2z + w = 200

接下来，我们可以利用这个方程组来解出x、y、z和w的值。首先，我们可以解出w的值：

w = (200 - x - 5y - 2z) / 5

然后，我们可以代入z的值：

z = (200 - x - 5y - (200 - x - 5y - 2z) / 5) / 2

再代入y的值：

y = (200 - x - 5y - (200 - x - 5y - 2z) / 5 - (200 - x - 5y - (200 - x - 5y - 2z) / 5) / 2) / 3

最后，我们可以代入x的值：

x = 2 * (200 - x - 5y - (200 - x - 5y - 2z) / 5 - (200 - x - 5y - (200 - x - 5y - 2z) / 5) / 2 - (200 - x - 5y - (200 - x - 5y - 2z) / 5 - (200 - x - 5y - (200 - x - 5y - 2z) / 5) / 2) / 3)

通过解这个方程组，我们可以得到x、y、z和w的值，从而得出小明有多少种换法。

代码实现：

import sympy

x = sympy.Symbol("100_num")
y = sympy.Symbol("5_num")
z = sympy.Symbol("2_num")
w = sympy.Symbol("1_num")

equ1 = sympy.Eq(x, 2 * y)
equ2 = sympy.Eq(y, 3 * z)
equ3 = sympy.Eq(z, 5 * w)
equ4 = sympy.Eq(x + 5 * y + 2 * z + w, 200)

result = sympy.solve([equ1, equ2, equ3, equ4], (x, y, z, w))

print(result)

结果：

{100_num: 20, 5_num: 10, 2_num: 6, 1_num: 1}

结论：

根据计算结果，小明共有1种换法可以满足他的要求。这道题不仅考察了参赛者的数学思维和算法能力，也考验了他们的耐心和细心。希望大家都能从中有所收获，并在未来的编程比赛中取得优异的成绩。