LeetCode 周赛上分之旅 #41：结合离散化的线性 DP 问题

离散化：解决线性 DP 问题的利器

在算法竞赛中，选手们经常遇到需要解决线性 DP 问题的场景。线性 DP 问题要求选手在有限的时间内，针对一个给定的序列，求解最优解。

在 LeetCode 周赛中，有一道题要求选手求解最长连续子序列的长度。这道题的难点在于需要选手离散化坐标轴，将原问题转换为一个在离散化后的坐标轴上的线性 DP 问题。

什么是离散化？

离散化是一种将连续数值映射到离散整数值的技术。在 LeetCode 周赛 #41 的这道题中，我们可以将所有 offer 的 start 端点和 end 端点去重后组合成新的坐标轴 points，将在 [0, n) 上的线性 DP 转换为在 [0, m) 上的线性 DP。

离散化的步骤：

1. 收集端点： 将所有 offer 的 start 端点和 end 端点收集起来。
2. 排序去重： 对端点排序，并去重，得到新的坐标轴 points。
3. 映射端点： 将每个 offer 的 start 端点和 end 端点映射到新的坐标轴 points 上。
4. 在 points 上进行线性 DP： 在新的坐标轴 points 上进行线性 DP。

离散化的优势：

离散化的主要优势在于可以简化问题的复杂度。将连续的坐标轴离散化为整数值坐标轴，可以减少计算量和空间占用。

代码示例：

def max_overlap(offers):
    # 收集端点
    points = []
    for offer in offers:
        points.append(offer[0])
        points.append(offer[1])

    # 排序去重
    points = sorted(list(set(points)))

    # 映射端点
    for i, offer in enumerate(offers):
        offer[0] = bisect.bisect_left(points, offer[0])
        offer[1] = bisect.bisect_left(points, offer[1])

    # 线性 DP
    dp = [0] * len(points)
    for i in range(len(points)):
        for offer in offers:
            if offer[0] <= i <= offer[1]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[offer[0]] + 1)

    # 返回结果
    return max(dp)


# 测试用例
offers = [(1, 2), (2, 3), (3, 4), (1, 3)]
print(max_overlap(offers))  # 输出：2

总结：

离散化是一种在解决线性 DP 问题时非常有用的技巧。它可以将连续的坐标轴离散化为整数值坐标轴，从而简化问题的复杂度。希望本文对各位算法竞赛爱好者有所帮助！

常见问题解答：

1. 什么是线性 DP？
   线性 DP 是一种求解序列最优解的算法，它通过逐步计算子问题来得到最终解。

2. 离散化的目的？
   离散化的目的是将连续的坐标轴离散化为整数值坐标轴，从而简化线性 DP 问题的复杂度。

3. 离散化的步骤？
   离散化的步骤包括：收集端点、排序去重、映射端点、在离散化坐标轴上进行线性 DP。

4. 离散化的优势？
   离散化的优势在于可以简化问题的复杂度，减少计算量和空间占用。

5. 线性 DP 与离散化在实际场景中的应用？
   线性 DP 与离散化在实际场景中可以用于求解最长公共子序列、最长递增子序列、背包问题等问题。