图的概念及其表示，你了解多少？

图的概念及其表示

图的概念在数学和计算机科学中都有着广泛的应用，它是一种抽象的数据结构，用于对象之间的关系。

1. 图的定义及相关术语

• 图 （Graph）：由顶点（Vertex）的有限集合和边（Edge）的有限集合组成的数据结构，顶点用V表示，边用E表示，图用G表示，G = (V, E)。
• 顶点 （Vertex）：图中的基本单位，通常用字母表示，如A、B、C等。
• 边 （Edge）：连接两个顶点的线段，用顶点的名称或字母表示，如AB表示顶点A和顶点B之间的边。
• 度 （Degree）：顶点与之相连的边的数量，记为deg(v)。
• 路径 （Path）：顶点序列，其中相邻的两个顶点之间都有边连接，路径的长度为路径上边的数量。
• 连通 （Connectivity）：如果图中任意两个顶点之间都有路径连接，则称该图为连通图，否则称为非连通图。
• 权重 （Weight）：边上标注的数值，表示边的重要程度或长度。
• 有向图 （Directed Graph）：边具有方向的图，边的箭头表示边连接两个顶点的方向。
• 无向图 （Undirected Graph）：边不具有方向的图，边的两端没有明确的起点和终点。
• 循环图 （Cyclic Graph）：存在至少一个环路（路径从某个顶点出发经过一些顶点后又回到该顶点）的图。

2. 图的存储表示

图的存储表示方式有多种，常用的有：

• 邻接矩阵 （Adjacency Matrix）：二维数组，其中矩阵中的每个元素表示两个顶点之间边的权重，如果两个顶点之间没有边，则相应的元素值为0。
• 邻接表 （Adjacency List）：数组，其中每个元素是一个顶点，每个顶点对应一个链表，链表中的节点表示与该顶点相连的边。
• 十字链表 （Incidence List）：数组，其中每个元素是一个边，每个边对应两个链表，链表中的节点分别表示边的起点和终点。

3. 图的分类

图可以根据不同的标准进行分类，常用的分类有：

• 无向图和有向图 ：根据边是否有方向，可以将图分为无向图和有向图。
• 稀疏图和稠密图 ：根据图中边的数量，可以将图分为稀疏图和稠密图。稀疏图的边数远少于顶点数的平方，稠密图的边数接近或等于顶点数的平方。
• 连通图和非连通图 ：根据图中任意两个顶点之间是否有路径连接，可以将图分为连通图和非连通图。
• 简单图和多重图 ：根据边是否可以重复，可以将图分为简单图和多重图。简单图中边不会重复，多重图中边可以重复。
• 平面图和非平面图 ：根据图能否在平面上绘制而不产生交叉，可以将图分为平面图和非平面图。

4. 无向图的表示

无向图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。

• 邻接矩阵表示 ：无向图的邻接矩阵是一个对称矩阵，矩阵中的每个元素表示两个顶点之间边的权重，如果两个顶点之间没有边，则相应的元素值为0。
• 邻接表表示 ：无向图的邻接表是一个数组，其中每个元素是一个顶点，每个顶点对应一个链表，链表中的节点表示与该顶点相连的边。

5. 有向图的表示

有向图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。

• 邻接矩阵表示 ：有向图的邻接矩阵不是对称矩阵，矩阵中的每个元素表示两个顶点之间边的权重，如果两个顶点之间没有边，则相应的元素值为0。
• 邻接表表示 ：有向图的邻接表是一个数组，其中每个元素是一个顶点，每个顶点对应一个链表，链表中的节点表示从该顶点出发的边。

6. 稀疏图和稠密图

稀疏图的边数远少于顶点数的平方，稠密图的边数接近或等于顶点数的平方。

• 稀疏图的表示 ：稀疏图可以用邻接表来表示，这样可以节省存储空间。
• 稠密图的表示 ：稠密图可以用邻接矩阵来表示，这样可以方便地访问任意两个顶点之间的边。

7. 图的应用

图在现实生活中有着广泛的应用，例如：

• 社交网络：社交网络中的用户可以用顶点表示，用户之间的关系可以用边表示。
• 交通网络：交通网络中的城市可以用顶点表示，城市之间的道路可以用边表示。
• 电路网络：电路网络中的元件可以用顶点表示，元件之间的连线可以用边表示。
• 计算机网络：计算机网络中的计算机可以用顶点表示，计算机之间的连接可以用边表示。

8. 结论

图的概念及其表示在数学和计算机科学中都有着广泛的应用，它是一种抽象的数据结构，用于对象之间的关系。