剑指Offer专项突击版第9|10题详细解析

前端

2024-02-07 20:33:26

前言

近年来，随着计算机技术的快速发展，算法和数据结构已经成为计算机科学领域的基础知识。在实际工作中，算法和数据结构的应用非常广泛，因此掌握算法和数据结构的知识对于程序员来说非常重要。

《剑指 Offer（专项突击版）》是一本非常经典的算法题集，它涵盖了各种算法和数据结构的基础知识。书中每道题都非常经典，对于程序员来说是一个很好的学习资料。

题目

第9题：斐波那契数列

斐波那契数列是这样定义的：f(0) = 0，f(1) = 1，f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中 n >= 2。给定 n，请计算 f(n)。

第10题：矩形覆盖

我们可以用 2x1 的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用 n 个 2x1 的小矩形无重叠地覆盖一个 2x2 的大矩形，总共有多少种方法？

思路分析

斐波那契数列

斐波那契数列是一个递归定义的数列。我们可以通过递归的方式来求解斐波那契数列第 n 项的值。但是，递归算法的时间复杂度是指数级的，当 n 较大时，递归算法的效率非常低。

为了提高算法的效率，我们可以使用动态规划的方法来求解斐波那契数列第 n 项的值。动态规划算法的时间复杂度是线性的，当 n 较大时，动态规划算法的效率非常高。

矩形覆盖

矩形覆盖问题可以转化为一个动态规划问题。我们可以定义一个状态 dp[i]，表示用 i 个 2x1 的小矩形无重叠地覆盖一个 2x2 的大矩形的方法数。

我们可以使用如下递推公式来求解 dp[i] 的值：

dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

其中，dp[i-1] 表示用 i-1 个 2x1 的小矩形无重叠地覆盖一个 2x2 的大矩形的方法数，dp[i-2] 表示用 i-2 个 2x1 的小矩形无重叠地覆盖一个 2x2 的大矩形的方法数。

代码实现

斐波那契数列

def fibonacci(n):
    if n == 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    else:
        dp = [0] * (n+1)
        dp[0] = 0
        dp[1] = 1
        for i in range(2, n+1):
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
        return dp[n]

矩形覆盖

def rect_cover(n):
    if n == 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    elif n == 2:
        return 2
    else:
        dp = [0] * (n+1)
        dp[0] = 0
        dp[1] = 1
        dp[2] = 2
        for i in range(3, n+1):
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
        return dp[n]