站在算法的肩膀，合理规划以求成功：直方图中的水量

2024-02-13 13:25:33

直方图，如同城市的天际线，高低错落的柱子描绘着数据的分布。但如果我们把这些柱子看作蓄水池的边界，它们之间又能容纳多少“水”呢？这个问题看似简单，却蕴含着算法设计的巧妙之处。

我们可以把问题想象成这样：给定一个由若干个柱子组成的直方图，每个柱子的宽度都为1，高度由一个数组表示。我们需要计算出这些柱子之间能够容纳的最大水量。

解决这个问题的关键在于找到每个柱子左右两侧最高的柱子。因为只有当一个柱子的左右两侧都有比它高的柱子时，它才能容纳水。而且，它能容纳的水量，是由它左右两侧最高的柱子中较矮的那个，以及它自身的高度决定的。

一种直观的解法是，对每个柱子，都遍历一遍数组，找到它左侧最高的柱子和右侧最高的柱子。这种方法的思路很简单，但时间复杂度较高，达到了O(n^2)，其中n是柱子的数量。

为了提高效率，我们可以采用动态规划的思想。我们可以先创建一个数组leftMax，用来存储每个柱子左侧最高的柱子的高度。我们从左到右遍历数组，leftMax[i]的值就是max(leftMax[i-1], height[i-1])，其中height是存储柱子高度的数组。

同样的，我们再创建一个数组rightMax，用来存储每个柱子右侧最高的柱子的高度。我们从右到左遍历数组，rightMax[i]的值就是max(rightMax[i+1], height[i+1])。

有了leftMax和rightMax数组，我们就可以很容易地计算出每个柱子能够容纳的水量了。对于每个柱子i，它能容纳的水量就是min(leftMax[i], rightMax[i]) - height[i]。如果这个值小于0，说明该柱子不能容纳水，我们把它置为0。

最后，我们将所有柱子能够容纳的水量加起来，就是整个直方图能够容纳的最大水量了。

这种方法的时间复杂度只有O(n)，因为它只需要遍历数组三次。空间复杂度也是O(n)，因为我们需要额外的两个数组来存储leftMax和rightMax。

下面是用Java代码实现的动态规划算法：

public int trap(int[] height) {
    if (height == null || height.length < 3) {
        return 0;
    }
    int n = height.length;
    int[] leftMax = new int[n];
    int[] rightMax = new int[n];
    leftMax[0] = height[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        leftMax[i] = Math.max(leftMax[i - 1], height[i]);
    }
    rightMax[n - 1] = height[n - 1];
    for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
        rightMax[i] = Math.max(rightMax[i + 1], height[i]);
    }
    int water = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        water += Math.max(0, Math.min(leftMax[i], rightMax[i]) - height[i]);
    }
    return water;
}