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n 阶行列式

人工智能

技术指南：数学基础之机器学习系列，n 阶行列式和对换详解

导言

对于探索机器学习的奥秘来说，数学基础至关重要。作为本系列文章的第二篇，我们将深入探究 n 阶行列式的概念和对换的性质，为机器学习建模的理解奠定坚实的基础。

对于一个 n x n 矩阵 A，n 阶行列式被定义为：

|A| = \sum_{\sigma \in S_n} sgn(\sigma)a_{1,\sigma(1)}a_{2,\sigma(2)}\cdots a_{n,\sigma(n)}

其中，S_n 是 n 元置换群，表示所有从 {1, 2, ..., n} 到 {1, 2, ..., n} 的双射。sgn(σ) 表示置换 σ 的符号（+1 或 -1）。

计算三阶行列式

对于三阶矩阵：

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}

其行列式为：

|A| = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})

性质

n 阶行列式具有以下性质：

  • 线性性： 行列式对每一行或每一列都是线性的。
  • 乘法性： 行列式乘以一个常数，结果等于行列式乘以这个常数。
  • 转置性： 行列式的转置等于行列式本身。
  • 伴随矩阵： 行列式的伴随矩阵由行列式的代数余子式组成。

置换是一个从集合 A 到自身的一一对应关系。n 个元素的置换被称为 n 阶置换。

置换的符号

置换 σ 的符号可以通过如下方式确定：将置换表示为不交并的循环的乘积，其中每个循环包含一个元素或多个元素。例如，置换 (1 2 3 4) 可以表示为 (1)(2 4 3)，因此符号为 -1。

对换的性质

对换具有以下性质：

  • 闭合性： 两个置换的复合仍然是一个置换。
  • 幺元： 恒等置换是置换的幺元。
  • 逆元素： 每个置换都有一个逆置换。
  • 群结构： 置换在复合运算下形成一个群，称为对称群 S_n。

置换在行列式中的应用

n 阶行列式的定义中涉及了置换。置换可以用来表示行列式中元素的排列方式。例如，三阶行列式中的置换 (1 2 3) 表示将第一行中的元素移动到第二行，第二行中的元素移动到第三行，第三行中的元素移动到第一行。

结论

n 阶行列式和对换是线性代数中至关重要的概念，在机器学习建模中有着广泛的应用。通过理解这些概念，我们可以更好地理解和解决机器学习问题。